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Mensaje |
Dul
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López
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1. Sea f un campo escalar de clase ![[tex]C^1 (R^2)[/tex]](images/latex/6aaf402f2ae238201e274e96014feedf7933bc7c_0.png "[tex]C^1 (R^2)[/tex]") . Se sabe que:
a) La curva de nivel 0 de f tiene ecuación ![[tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex]](images/latex/711cb51d0226e18ca3cb50d97c218a0512a08c71_0.png "[tex]3x^2 + y^2 = 12[/tex]")
b) f(1, 3) · (1, 0) > 0.
c) El valor máximo de la derivada direccional de f en (1, 3) es igual a ![[tex]\sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/62ec5b5733ef8ded2ebdaa4149ac8f09ed0fb0d9_0.png "[tex]\sqrt[]{2}[/tex]") .
Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (1, 3, f (1, 3)).
Tengo muchas dudas con este enunciado y en el parcial lo hice casi todo mal. Alguien me podría explicar cómo lo resuelvo?
Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el ![[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2} [/tex]](images/latex/04d3cb1807a3acc67b8091f2628badaec7c8be2d_0.png "[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2} [/tex]") ?
Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente ![[tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex]](images/latex/8b321106282cc308017ec257a86993ca66982948_0.png "[tex] f(x,y) = 3x^2 + y^2 -12 [/tex]") ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6). El módulo de eso es ![[tex]6\sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/0838f4c6bb1ef877a3544ec1aed842cddc5f84ea_0.png "[tex]6\sqrt[]{2}[/tex]") ... qué significa esto? Cómo se relaciona con el dato de (c)?
Si el gradiente sale haciendo eso, para qué me dan los datos (b) y (c)?
Ayuda!!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Dul escribió:
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Duda 1: Lo que dice en (b) significa que el ![[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2}[/tex]](images/latex/ca98146cc570d9b17b02eccf7cab8e614b658b9b_0.png "[tex] \left\|{grad f(1,3)}\right\| = \sqrt[]{2}[/tex]") ?
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Habrás querido decir (c), pero sí, es correcto.
| Dul escribió:
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Duda 2: puedo sacar el gradiente de f derivando parcialmente ?? Hacer eso me da grad f(3,1) = (6,6).
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No, no podés. Lo que sí sabes es que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, y que es una de ellas. También podés ver que (1, 3) es un punto de esa curva, porque satisface la ecuación, y por lo tanto, como es la curva de nivel 0, sabés tanto que f(1, 3) = 0 como que el gradiente de f es ortogonal a la curva en ese punto.
Así que primero necesitás obtener un vector tangente a la curva en (1, 3). Te dejo a vos hacer la cuenta, pero (1, -1) es un vector tangente en ese punto. De la condición de ortogonalidad ![[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, -1) = 0[/tex]](images/latex/3235d4e0bfb04bff4d25d7771ceacebfa19ee798_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, -1) = 0[/tex]") sacás que el gradiente de f en el punto es de la forma K(1, 1), para algún K real a determinar. Hasta este punto tenés la dirección solamente.
La condición (c) te da el módulo, así que pedís que ![[tex]\| \nabla f(1, 3)\| = \|K (1, 1)\| = \sqrt{2}[/tex]](images/latex/27a2eb4c1f3fb6401a078e2757bdec38bca652bd_0.png "[tex]\| \nabla f(1, 3)\| = \|K (1, 1)\| = \sqrt{2}[/tex]") . De ahi obtenés que |K| = 1, así que ![[tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex]](images/latex/2c21408a5732e8afa753f4fe10cab91d6121b10d_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) = (1, 1)[/tex]") o ![[tex]\nabla f(1, 3) = (-1, -1)[/tex]](images/latex/b95b22648dbb96690b3a0e1f4a20ee246b68be24_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) = (-1, -1)[/tex]") . Hasta este punto tenés la dirección y el módulo. Te falta el sentido.
De la condición (b) (que, supongo, correctamente escrita es ![[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, 0) > 0[/tex]](images/latex/dc2ed9551f09063c4f1f453195d2148b81117475_0.png "[tex]\nabla f(1, 3) \bullet (1, 0) > 0[/tex]") ) desempatás por , así que ahora tenés el gradiente completo. Y junto con f(1, 3), que ya sabés cuánto vale, tenés todo lo que necesitás para obtener la ecuación del plano tangente.
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Dul
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 03 Jul 2012
Mensajes: 20
Ubicación: Vicente López
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Muchas gracias Huey 7! Me resolviste todas las dudas.
No estaba teniendo para nada en cuenta el hecho de que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel. Pequeño detalle!
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