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Mensaje |
nicotara
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 14 May 2009
Mensajes: 34
Carrera: Industrial
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Estoy haciendo un pequeño seminario sobre estos temas pero la verdad que a veces el profesor (un pibito recién egresado que está haciendo un PhD en USA) se va al carajo con los ejercicios.
Ojalá alguien pueda ayudarme.
Gracias.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Un par de pistas más.
a) Probar que C es convexo es probar que si ![[tex]u \in C \wedge v \in C[/tex]](images/latex/6fd3678401ffd3fe6b21e9a9e271db8f2a33ea62_0.png "[tex]u \in C \wedge v \in C[/tex]") , entonces el segmento que une u con v también pertenece a C, es decir:
![[tex]x = u + k(v - u) = (1 - k)u + kv \in C \mbox{ para } 0 \leq k \leq 1[/tex]](images/latex/249a44b2e3405854760fead88b5d0b00e47ec625_0.png "[tex]x = u + k(v - u) = (1 - k)u + kv \in C \mbox{ para } 0 \leq k \leq 1[/tex]")
b) Si ![[tex]u = (u_1, u_2, ..., u_k) \in C[/tex]](images/latex/cd8a461920ca3cd530a74cdfc84fb27fb6262f28_0.png "[tex]u = (u_1, u_2, ..., u_k) \in C[/tex]") entonces:
![[tex]f_u(t) = u_1 + u_2t + ... + u_kt^{k-1}[/tex]](images/latex/28230c085439dfb83ca225cbba256d8aca9b8628_0.png "[tex]f_u(t) = u_1 + u_2t + ... + u_kt^{k-1}[/tex]")
![[tex]f_u(0) = u_1 = 1[/tex]](images/latex/c27853db065a4d04a3ba402963ba158288180822_0.png "[tex]f_u(0) = u_1 = 1[/tex]")
![[tex]|f_u(t)| = |u_1 + u_2t + ... + u_kt^{k-1}| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]](images/latex/67ab6a2e9f0f6df04bdcbf427b11f7407597055f_0.png "[tex]|f_u(t)| = |u_1 + u_2t + ... + u_kt^{k-1}| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]")
De la misma manera, si ![[tex]v = (v_1, v_2, ..., v_k) \in C[/tex]](images/latex/c3888975b0b7d45f8f1b021d8f70592c2730db65_0.png "[tex]v = (v_1, v_2, ..., v_k) \in C[/tex]") entonces:
![[tex]f_v(t) = v_1 + v_2t + ... + v_kt^{k-1}[/tex]](images/latex/05743a673502bbffc2c30fce1217e1b04fcc3527_0.png "[tex]f_v(t) = v_1 + v_2t + ... + v_kt^{k-1}[/tex]")
![[tex]f_v(0) = v_1 = 1[/tex]](images/latex/d09d3fc74bcf99280bd7737d7cb0b8a8cdbc8f00_0.png "[tex]f_v(0) = v_1 = 1[/tex]")
![[tex]|f_v(t)| = |v_1 + v_2t + ... + v_kt^{k-1}| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]](images/latex/1fe59890806e28df1002584400ee2c2c9944d285_0.png "[tex]|f_v(t)| = |v_1 + v_2t + ... + v_kt^{k-1}| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]")
c) Probar que ![[tex]x = u + k(v - u) \in C[/tex]](images/latex/37e63d222f0204e279e822aa045527e26901b1b8_0.png "[tex]x = u + k(v - u) \in C[/tex]") es probar que, si ![[tex]f_x(t) = x_1 + x_2t + ... + x_kt^{k-1}[/tex]](images/latex/c8da0320870f4ef832428d091d6cd187a9514c9b_0.png "[tex]f_x(t) = x_1 + x_2t + ... + x_kt^{k-1}[/tex]") , entonces:
![[tex]f_x(0) = 1 \wedge |f_x(t)| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]](images/latex/e7bd9b980805d9ec46322ece133198ec02319363_0.png "[tex]f_x(0) = 1 \wedge |f_x(t)| \leq 1 \mbox{ para } a \leq t \leq b[/tex]")
d) Mostrá que ![[tex]f_x(t) = (1 - k)f_u(t) + kf_v(t)[/tex]](images/latex/8bb1bb1e18f2bfafc99d712c49e209defeeca858_0.png "[tex]f_x(t) = (1 - k)f_u(t) + kf_v(t)[/tex]") . Entonces, usando la pista "oficial" (o sea, la desigualdad triangular), se cumple:
![[tex]|f_x(t)| \leq |1 - k||f_u(t)| + |k||f_v(t)|[/tex]](images/latex/a4bce41b361eb8b2b22ac03a0005427f8ad1f96c_0.png "[tex]|f_x(t)| \leq |1 - k||f_u(t)| + |k||f_v(t)|[/tex]")
e) Tené en cuenta que para ![[tex]0 \leq k \leq 1[/tex]](images/latex/deb9812ebcc6b0b30483b620106cf595ffcd1015_0.png "[tex]0 \leq k \leq 1[/tex]") , ![[tex]|k| = k \wedge 1 - k \geq 0[/tex]](images/latex/cb45e0f5ea523e2b6ee0f3e5440c395ae68bbd12_0.png "[tex]|k| = k \wedge 1 - k \geq 0[/tex]") , así que también ![[tex]|1 - k| = 1 - k[/tex]](images/latex/426332ee6832c94f8c57714a64157a63b4f56341_0.png "[tex]|1 - k| = 1 - k[/tex]") .
PD: ¿Qué seminario es? ¿Por qué tiene ejercicios de conjuntos convexos? 
EDIT: Cambio de un igual mal escrito por un menor o igual.
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nicotara
Nivel 3
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Mensajes: 34
Carrera: Industrial
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Es un seminario al que me invitaron, se da en el ITBA.
Me sirvió muchísimo lo que me pasaste. Por suerte llegué a buen puerto, te agradezco mucho.
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