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Granada
Nivel 9


Edad: 29
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325

Carrera: Química
CARRERA.quimica.3.jpg
MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 1:15 am  Asunto:  Ejercicio 12 guía 4 Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Hola gente, el ejercicio dice lo siguiente

Sea [tex]\vec F / R^2{\rightarrow}R^2, \vec F(u,v) = (x(u,v),y(u,v))[/tex] una funcion biyectiva y [tex]C^2(R^2)[/tex] que satisface

[tex]\frac{\delta (x,y)}{\delta (u,v)} \, (1,-2) = \begin{array}{cc}1 &   -1 \\2 &   1\end{array}[/tex]

y [tex]\vec F(1,-2) = (1,2)[/tex]

a) Hallar un vector tangente en [tex](1,2)[/tex] de la curva de imagen por [tex]\vec F[/tex] de la recta de ecuacion [tex]u^2 + v^2 =5[/tex].

b) Hallar un vector tangente en [tex](1,-2)[/tex] de la preimagen por [tex]\vec F[/tex] de la recta de ecuacion [tex]y=2x[/tex].


Para el punto a) yo pense obtener el vector gradiente en el (1,2), empece a plantearlo pero me di cuenta que la jacobiana que me dan es en el (1,-2) asi que todo mi planteo se fue al carajo.
Sin embargo, este planteo seria válido para el punto b?

Graciassss.

_________________
koreano escribió:
Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".

Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".

Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".

No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR

[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]

Aries Género:Masculino Gallo OfflineGalería Personal de GranadaVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Jackson666
Nivel 9


Edad: 35
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 12:53 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Usa [tex]\partial[/tex] en lugar de [tex]\delta[/tex] para las derivadas parciales. Y a la matriz le quedaría bien unos corchetes o paréntesis para que se entienda mejor me parece.

Para (a) pensa lo siguiente. Supone que tenes una parametrización regular de la curva que te dan, digamos [tex]\vec{g}(t)[/tex]. Tenes que hallar el vector tangente a la curva [tex]\vec{X}(t) = \vec{F}\left[\vec{g}(t)\right][/tex] en el punto [tex](1,2)[/tex]. Como el campo es biyectivo por hipótesis, la preimágen de [tex](1,2)[/tex] (punto de la curva transformada) es única. Eso es importante, para que sepas que sólo deberías tener una solución y no dos o tres.

Para hallar el vector tangente, usas la regla de la cadena. Derivando se obtiene que [tex]\vec{X}^{\prime}(t) = \mathcal{D}\left(\vec{F}\right)\bigg|_{\vec{g}(t)} \cdot \vec{g}^{\prime}(t)[/tex]. Ahora, de nuevo, sabes que el campo es biyectivo. La preimágen del [tex](1,2)[/tex] es el punto [tex](1,-2)[/tex] y no puede ser ningún otro. Además, fijate que [tex](1,-2)[/tex] es un punto de la circunferencia que te dan como dato (por cierto, pusiste "recta" en el post).

Ahora, buscas el valor de [tex]t_{0}[/tex] que hace que [tex]\vec{g}(t_{0}) = (1,-2)[/tex]. Fijate que se verifica [tex]\vec{X}(t_{0}) = \vec{F}\left[\vec{g}(t_{0})\right] = \vec{F}(1,-2) = (1,2)[/tex]. Reemplazas por ese valor en la ecuación de las derivadas y obtenes el vector tangente en ese punto.

Para (b) se razona similar.


Aries Género:Masculino Gato OfflineGalería Personal de Jackson666Ver perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Granada
Nivel 9


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Carrera: Química
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 1:36 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Jackson666 escribió:
Usa [tex]\partial[/tex] en lugar de [tex]\delta[/tex] para las derivadas parciales. Y a la matriz le quedaría bien unos corchetes o paréntesis para que se entienda mejor me parece.

Para (a) pensa lo siguiente. Supone que tenes una parametrización regular de la curva que te dan, digamos [tex]\vec{g}(t)[/tex]. Tenes que hallar el vector tangente a la curva [tex]\vec{X}(t) = \vec{F}\left[\vec{g}(t)\right][/tex] en el punto [tex](1,2)[/tex]. Como el campo es biyectivo por hipótesis, la preimágen de [tex](1,2)[/tex] (punto de la curva transformada) es única. Eso es importante, para que sepas que sólo deberías tener una solución y no dos o tres.

Para hallar el vector tangente, usas la regla de la cadena. Derivando se obtiene que [tex]\vec{X}^{\prime}(t) = \mathcal{D}\left(\vec{F}\right)\bigg|_{\vec{g}(t)} \cdot \vec{g}^{\prime}(t)[/tex]. Ahora, de nuevo, sabes que el campo es biyectivo. La preimágen del [tex](1,2)[/tex] es el punto [tex](1,-2)[/tex] y no puede ser ningún otro. Además, fijate que [tex](1,-2)[/tex] es un punto de la circunferencia que te dan como dato (por cierto, pusiste "recta" en el post).

Ahora, buscas el valor de [tex]t_{0}[/tex] que hace que [tex]\vec{g}(t_{0}) = (1,-2)[/tex]. Fijate que se verifica [tex]\vec{X}(t_{0}) = \vec{F}\left[\vec{g}(t_{0})\right] = \vec{F}(1,-2) = (1,2)[/tex]. Reemplazas por ese valor en la ecuación de las derivadas y obtenes el vector tangente en ese punto.

Para (b) se razona similar.


Ah, es que mucho no uso latex y lo posteé a las 2 am y no busque mucho como se escribe una matriz :P.

Mil gracias jackson, ahora me fijo si me sale!

_________________
koreano escribió:
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Espina
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Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 2:56 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

buenas
yo tmb tengo dudas con ese ejercicio, lo primero es q no logro entender q quiere decir con "de la curva de imagen por [tex]\vec F[/tex] de la circunferencia de ecuacion [tex]u^2 + v^2 =5[/tex]"
o sea f es la circunferencia?


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Jackson666
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 3:29 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

F es un campo vectorial, es lo primero que dice el enunciado. Mirando el dominio y el codominio te das cuenta también.

La curva imágen por F de esa circunferencia, es la que resulta de evaluar al campo F sobre puntos de la circunferencia que te dan.


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Granada
Nivel 9


Edad: 29
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 3:41 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Cuando yo busco el [tex]t_{0}[/tex] para que [tex]\vec{X}(t_{0}) = \vec{F}\left[\vec{g}(t_{0})\right] = \vec{F}(1,-2) = (1,2)[/tex], lo busque en la parametrización sin derivar. Entonces me queda:

[tex]\vec g(t) = (\sqrt(5). cos( t) , \sqrt(5) sen( t)) = (1,-2) [/tex] y me queda un sistema de ecuaciones. Sin embargo, me queda un sistema de ecuaciones que no puedo resolver Evil or Very Mad

[tex]cos(t) = 1{/}\sqrt(5)[/tex] y
[tex]sent (t) = -2{/}\sqrt(5)[/tex]

Y con la calculadora no puedo llegar a un T que satisfaga ambas ecuaciones.

Otra duda, al encontrar Este valor de T, no logro ver porque tendria que satisfacer [tex]\vec{X}^{\prime}(t) = \mathcal{D}\left(\vec{F}\right)\bigg|_{\vec{g}(t)} \cdot \vec{g}^{\prime}(t)[/tex] ya que acá se usan la parametrizacion derivada y no normal.

Se me hizo una laguna con este ejercicio de mierda Evil or Very Mad

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Pablisho
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Carrera: Electrónica y Informática
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 4:33 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Estas seguro que te hace falta conocer ese valor de t0??

Te lo respondo yo, no hace falta. Ahora pensalo vos :P


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Jackson666
Nivel 9


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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 8:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Si haces [tex]\frac{\sin(t_{0})}{\cos(t_{0})} = \tan(t_{0}) = -2[/tex], obtenes [tex]t_{0}[/tex] que en este caso no da "lindo".

Y yo no veo ahora por qué no hace falta obtenerlo, porque necesito conocer [tex]\vec{g}^{\prime}(t_{0})[/tex].

Granada escribió:
Otra duda, al encontrar Este valor de T, no logro ver porque tendria que satisfacer [tex]\vec{X}^{\prime}(t) = \mathcal{D}\left(\vec{F}\right)\bigg|_{\vec{g}(t)} \cdot \vec{g}^{\prime}(t)[/tex] ya que acá se usan la parametrizacion derivada y no normal.

Se me hizo una laguna con este ejercicio de mierda Evil or Very Mad

Me parece que te estás confundiendo. Esa ecuación es debida a la regla de la cadena. Así como la función [tex]\vec{g}(t)[/tex] te describe la curva punto a punto, la función [tex]\vec{g}^{\prime}(t)[/tex] te describe el vector tangente a esa curva, punto a punto.


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Pablisho
Nivel 5



Registrado: 25 Sep 2008
Mensajes: 142

Carrera: Electrónica y Informática
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 9:03 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Porq la derivada de cos(x) es -sen(x) y de sen(x) es cos(x).
Por supuesto q se puede hallar el t0, pero va a ser feo y no es necesario, lo unico q necesitas son esas 2 ecuaciones q puso Granada mas arriba, no te hace falta resolverlas, cuando sacas la expresion de g'(t) ahi te cae la ficha..
Digamos si sabes q g(t0)=(1,-2) es obvio q g'(t0)=(2,1) (usando esa parametrizacion)


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Jackson666
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 9:08 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ah muy buena esa, no se me había ocurrido!.


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Granada
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 10:40 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Pablisho escribió:
Porq la derivada de cos(x) es -sen(x) y de sen(x) es cos(x).
Por supuesto q se puede hallar el t0, pero va a ser feo y no es necesario, lo unico q necesitas son esas 2 ecuaciones q puso Granada mas arriba, no te hace falta resolverlas, cuando sacas la expresion de g'(t) ahi te cae la ficha..
Digamos si sabes q g(t0)=(1,-2) es obvio q g'(t0)=(2,1) (usando esa parametrizacion)
La verdad que no veo esa obviedad:(

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koreano escribió:
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Espina
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Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Dom Abr 29, 2012 11:17 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

ahora si gracias chicos
ahora lo q no entiendo es el enunciado b


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