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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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Buenas gente, el ejercicio dice asi:
Resolver la ec. de Laplace en la siguiente region:
A={(p,o) / 0<= o <= a} // donde p=ro y o=tita.
con las condiciones:
u(p,0)=A
u(p,a)=B
¿Alguna ayudita para resolverlo?
Saludos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Media pila man, para escribir eso en [tex]\LaTeX[/tex] te puede llevar 10 minutos entre que aprendes y todo.
La región es ![[tex]\Omega = \left\{ (\rho, \theta): \; 0 \le \theta \le a \right\}[/tex]](images/latex/02326e3e8f225bd7fa49ad8addef92517494257e_0.png "[tex]\Omega = \left\{ (\rho, \theta): \; 0 \le \theta \le a \right\}[/tex]") y las condiciones son ![[tex]u(\rho, 0) = A \quad \wedge \quad u(\rho, a)=B[/tex]](images/latex/b7034c45ba269266fd78c6ac9bf29fb5ffe9a964_0.png "[tex]u(\rho, 0) = A \quad \wedge \quad u(\rho, a)=B[/tex]") (son coordenadas polares).
Para hacerlo fácil, dibuja la región en el plano complejo sólo para el caso ![[tex]0 < a < \frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/cbac15da342fb333a3f26976e57f46ad143aa350_0.png "[tex]0 < a < \frac{\pi}{2}[/tex]") . Nota que es un "triángulo" infinito que barre desde el eje real hasta la recta ![[tex]\Im(z) = \tan(a) \cdot \Re(z)[/tex]](images/latex/cef900b762e08f04fc88aa574ebc951c33b8d84b_0.png "[tex]\Im(z) = \tan(a) \cdot \Re(z)[/tex]") .
Ahora trata de buscar una transformación conforme que mande esa región al semiplano superior (te va a depender de a obviamente). Después resolves normalmente.
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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Perdon por no usar el Latex, todavia no me pude acostumbrar.
El triangulo del que hablas, ¿no estaria ya ubicado en el plano superior? osea en el 1º cuadrante.
¿que es lo que tendria que hacer esa transformacion exactamente?
Saludos 
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| O sea, vos sabes resolver el laplaciano de u=0 en ciertas regiones faciles, como el semiplano superior o inferior, un circulo, etc. La onda es transformar la region por alguna transformacion conforme y resolver el laplaciano ahi.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Y después por la transformación inversa recuperar la región anterior y viendo como se transforma la solución. Creo que todo esto sonaría menos místico con un ejemplo así que si seguís sin entender, después te hago algun ejemplín por acá con graficos y toda la bola. Una vez que le tomás la mano a uno y entendés por donde viene la onda, el resto son cuestión de memorizarte las transformaciones de producto/suma/ln/exp/potencias/inversión/seno.
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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Buenas, intente con la funcion inversion que es la que mejor entiendo y no me salio, bah.... no se si lo habre hecho mal. ¿como te das cuenta que transformacion usar?
Encima hoy con el tema del paro nos dijieron que no hay practica (N)
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No tenes que memorizar nada, tenes que entender qué hace cada transformación.
En este caso, una potencia de exponente natural te sirve, ya que agranda módulos y argumentos (llevas la recta anterior al eje real negativo). Proba con algo de la forma ![[tex]z^{n}[/tex]](images/latex/90aff7cc3a025d481b5b5bc52a1f544f2b63fc6c_0.png "[tex]z^{n}[/tex]") , buscando un ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]") conveniente.
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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buenas gente, les comento que llegamos con un compañero a una solucion. El asunto es proponer una funcion armonica y ver si cumple lo pedido.
Se propone U(x,y)= m.arctg(y/x) + n (que es la parte imaginaria del Ln(z))
Bueno en realidad, no es que se "propone" esa funcion, en el Churchill en la parte de transformaciones esta explicado de donde sale y porque se usa esa funcion, pero la verdad es que lo entendi poco y nada!
En fin, usando las condiciones de borde te queda un sistema de 2 ec y 2 incognitas para despejar los valores de "m" y "n". LISTO! ya tenes la funcion armonica que cumple lo pedido 
Saludos.
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Daniel 77
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 03 Ago 2008
Mensajes: 365
Ubicación: Colegiales
Carrera: Química
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Entre formulas, propiedades y algunas deducciones, tenes varias cosas para memorizarte... yo te diria que trates de cachar bien como se llega a eso, si mal no recuerdo no es taaaaan complicado.
PD: odio el Churchill 
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Uciel escribió:
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buenas gente, les comento que llegamos con un compañero a una solucion. El asunto es proponer una funcion armonica y ver si cumple lo pedido.
Se propone U(x,y)= m.arctg(y/x) + n (que es la parte imaginaria del Ln(z))
Bueno en realidad, no es que se "propone" esa funcion, en el Churchill en la parte de transformaciones esta explicado de donde sale y porque se usa esa funcion, pero la verdad es que lo entendi poco y nada!
En fin, usando las condiciones de borde te queda un sistema de 2 ec y 2 incognitas para despejar los valores de "m" y "n". LISTO! ya tenes la funcion armonica que cumple lo pedido
Saludos.
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Esto está muy incompleto, te recomiendo que leas sobre transformaciones conformes y entiendas bien de donde sale el concepto y te fijes por definición como actúa cada función. En el fondo no son mas que funciones de R2 en R2, pero tienen propiedades muy interesantes por el tema de que preservan angulos y la derivada no se anula excepto en algunos puntos.
Para verificar y entender las transformaciones básicas te recomiendo pasar por acá http://my.fit.edu/~gabdo/function.html que tiene muchos ejemplos.
La verdad no encontré ningun libro donde esté bien explicado este tema, excepto un poco en el Kreyzsig pero está con otro enfoque y en algunas cosas excede la profundidad que se le da en la materia. La mejor manera de aprenderlo es haciendo los ejs de la guía y que te den una mano los ayudantes.
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Uciel
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 16 Ago 2010
Mensajes: 288
Carrera: Informática
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Bueno seria cuestion de volver a leer esa parte del Churchill a ver si la entiendo mejor
PD: me encontre con cosas muy locas aca
http://my.fit.edu/~gabdo/function.html
esta muy buena la pagina para entender como se comporta una funcion ante la transformacion "w".
Saludos
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