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Juliann_VLV
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 03 Ago 2010
Mensajes: 18
Carrera: Electrónica
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Hola! estoy teniendo problemas con un ejercicio que saque del final 5/8/2009.
El ejercicio dice asi:
Uxx=Ut 0 <= x <= pi
Ux(0,t)=0
U(pi,t)=10
U(x,0)= sen x
Si no me equivoco, tengo que plantear que la solucion es del tipo
U(x,t) = V (x,t) + W(x)
W(x) siempre era una recta que se llevaba las condiciones de borde y esas cosas, por lo que me quedaria que es W(x) = 10 x / pi
Pero cuando quiera resolver V(x,t) como si fuese homogenea, cuando tenga la condicion de que Ux(0,t)=0, en verdad tengo:
Ux (0,t) = Vx(0,t) + 10/pi = 0
Como hago para resolver ahi?! porque no es como antes que tachaba el termino del cos o el sen y listo....
En si la pregunta seria, como tengo que resolver los ejercicios de este tipo, que tienen una condicion de borde de la temperatura, y en el otro borde algo que tiene que ver con la transimision (la derivada), onda cuando esta aislado y estas cosas? jej
Gracias si alguien se copa y me da una idea 
Slds!
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tul1
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 72
Carrera: Electrónica
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Mirá en principio cuando hacés U(x,t)=V(x,t) + W(x) estás separando el problema en parte estacionaria con V(x,t) y transitoria con W(x).
Como bien dijiste W(x) es una recta tal que W(x)=Ax+B y V(x,t) cumple Vx(0,t)=V(pi,t)=0.
Entonces, U(x,t)=V(x,t)+Ax+B. Las constante A y B las despejás así:
Ux(0,t)=Vx(0,t) + A => A=0.
U(pi,t)=V(pi,t) + B => B=10/pi (Como bien pusiste)
Y ahora lo que tenés que hacer es resolver el problema de calor en regimen estacionario con V(x,t)..
Usando separación de variables te van a salir 2 ecuaciones diferenciales, una de 2º orden y otra de 1º, y 2 condiciones de contorno.
Con la ecuación diferencial de 2º orden (dependiente de x) + las 2 condiciones de contorno vas a tener un problema de Sturm Louiville simplicado.
Resolvés eso.. resolves la otra ecuación diferencial, encontrás el desarrollo en serie V(x,t) y después volvés a la expresión estacionario+transitorio: U(x,t)=V(x,t)+10/pi
Evaluás U(x,0)=10/pi+V(x,0).
Te queda: sen x -10/pi =V(x,0) , donde V(x,0) es un desarrollo en serie de cosenos o senos de Fourier.
Finalmente calculás el coeficiente del desarrollo para la función: sen x - 10/pi y listo!
Espero haberte sido útil.
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Juliann_VLV
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 03 Ago 2010
Mensajes: 18
Carrera: Electrónica
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| tul1 escribió:
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Como bien dijiste W(x) es una recta tal que W(x)=Ax+B y V(x,t) cumple Vx(0,t)=V(pi,t)=0.
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Eso era lo que no estaba seguro! gracias. Cuando decia que V(x,t) era como la solucion del homogeneo, no me quedaba claro si entonces yo tenia que exigir que V(0,t)=0 o si Vx(0,t)=0, pero por lo que decis es lo 2do y tiene sentido para que se cumplan todas las condiciones.
Y claro desp siguiendo seria como todos los ejercicios, tenes razon.
Otra cosa, en este caso por como queda todo, la u(x,t) conserva los terminos de los cosenos y me quedo que lambda = (2n+1)/2...o sea terminos del tipo cos((2n+1)x/2).
En esos casos, tambien para calcular los terminos de la serie de Fourier, desp voy a tener que dividir por la norma del cos((2n+1)x/2) en el periodo, verdad?
Muchas gracias por tu ayuda, me vino re bien  ...tenía esa duda maldita jeje
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tul1
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 72
Carrera: Electrónica
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Ux(0,t)=0
U(pi,t)=10
Tenés estas 2 hipótesis por ende tendrás que "exigir" V(0,t)=0 y Vx(pi,t)=0.
No se de donde te sale Vx(0,t)..
Lo del coseno está bien, te termina quedando en desarrollo de coseno de los impares por x.
no se a que te referís con:
| Cita:
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En esos casos, tambien para calcular los terminos de la serie de Fourier, desp voy a tener que dividir por la norma del cos((2n+1)x/2) en el periodo
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Para calcular el coeficiente de Fourier podés utilizar:
An=1/pi (integral de 0 a 2pi) (sen x - 10/pi) cos((2n+1)x/2) dx
que viene de: An=<senx>/||cos((2n+1)x/2)||^2
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tul1
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 72
Carrera: Electrónica
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Perdón, se me borró una parte:
An=<senx>/||cos((2n+1)x/2)||^2
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tul1
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 72
Carrera: Electrónica
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No quiere salir, cambio la notación a ver que onda:
An=(senx-10pi,cos((2n+1)x/2)) /||cos((2n+1)x/2)||^2
las parentesis son el producto interno canónica para funciones.
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Juliann_VLV
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 03 Ago 2010
Mensajes: 18
Carrera: Electrónica
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| tul1 escribió:
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Ux(0,t)=0
Tenés estas 2 hipótesis por ende tendrás que "exigir" V(0,t)=0 y Vx(pi,t)=0.
No se de donde te sale Vx(0,t)..
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Creo que te mezcle con lo que dije, pero mas arriba me habias puesto que el despeje seria:
Ux(0,t)=Vx(0,t) + A => A=0.
U(pi,t)=V(pi,t) + B => B=10/pi
Por eso decia lo de Vx(0,t)=0 y mismo V(pi,t)=0 jej
La otra parte jaja la notacion se puso en ortiva, pero entendi lo que quisiste decir.
Muchas gracias de nuevo!!!!!!
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