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La gallina Pipa
Nivel 8
Edad: 84
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 611
Ubicación: Calle Falsa 123
Carrera: No especificada
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Claro, está mal la guía porque derivando la expresión no vas a poder llegar a ![[tex]e^{-2x}[/tex]](images/latex/b391a81f12e92e1107628a7cac45e39b7a12dcbb_0.png "[tex]e^{-2x}[/tex]") ya que no te cambia el exponente.
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Nosotros... Chat FIUBA!
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Genial! Mil gracias a ambos.
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andrea_r
Nivel 5
Edad: 30
Registrado: 25 Feb 2011
Mensajes: 138
Carrera: Industrial
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holaaa, alguien me da una mano con dos ejercicios de cilindrícas de la guía 8?  capaz son un par de pavadas, pero ya estoy re negada  del ejercicio 9 (piden graficar y describir en cilíndricas), los items:
c) (x - 1)^2 + y^2 - y + (z - 3)^2 + 3z >= 1
d) z > (x - 1)^2 + (y + 2)^2
el primero sinceramente no sé cómo hacerlo, intenté completando cuadrados para que quedara algo más o menos lindo, pero me quedó del lado del 1 una fracción negativa y la verdad no le veo mucho sentido 
el segundo lo hice directamente. el gráfico en R^3 me quedó un paraboloide elíptico con el vértice en el octante de los x-positivos e y-negativos, hasta ahí entiendo que está bien. lo que me piden describir sería lo que está dentro del paraboloide (llegué a esa conclusión porque el origen no cumple la inecuación).
considero:
x = rcost + 1
y = rsent -2
y describiendo la región me queda:
z > r^2 - 4rsent + 2rcost + 5
r >= 0
0<= t < <2pi> (perdón por la notación exótica, que se entienda que t va de 0 a 2pi)
mi duda principalmente está en la primera de las últimas inecuaciones, sale directamente de elevar x e y al cuadrado y sumarlas, pero al colocar estas mismas x e y en la inecuación inicial me queda simplemente que:
z > r^2
por otro lado, cuando terminé de hacerlo y lo copié en el graficador del Matemática de Windows me tira un dibujo que se parece a un vidrio de reloj como esos que se usan en química 
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Hola! Alguno me podría dar una mano con los ejercicios 4, 5 y 6 de la guía 10? Me estoy volviendo loco con teoría y no logro resolverlos. Cuento un poco que pensé que no se trata de conjuntos simplemente conexos entonces no puedo trabajar como es habitual con los teoremas y en cuanto a las restricciones que podría hacer, encontré por algún lado de pedir que sea distinto de cero una única coordenada y no ambas, pero tampoco lo entiendo muy bien. De lo que pude ver, la información que encontraba ya me excedía y se metía en cuestiones más bien topográficas. A ver si alguno me echa una mano. Mil gracias!
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Podés poner los enunciados?
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| andrea_r escribió:
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Graficar y describir en cilíndricas: ^2 + y^2 - y + (z - 3)^2 + 3z \geq 1 [/tex]](images/latex/e9f6cfc16185f58f6f490938dc2bd617f2eba352_0.png "[tex](x - 1)^2 + y^2 - y + (z - 3)^2 + 3z \geq 1 [/tex]")
el primero sinceramente no sé cómo hacerlo, intenté completando cuadrados para que quedara algo más o menos lindo, pero me quedó del lado del 1 una fracción negativa y la verdad no le veo mucho sentido
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Lo que yo intentaría hacer es obtener algo de la forma ![[tex]x^2+y^2+z^2 \geq k[/tex]](images/latex/c99dff62058c2674618c4d05fc23f7493c67a0aa_0.png "[tex]x^2+y^2+z^2 \geq k[/tex]") .
Como ves, lo que nos molesta ahí son los términos ![[tex]y^2-y[/tex]](images/latex/881d394a41fac278eb93cf01cdcd8007f99d8857_0.png "[tex]y^2-y[/tex]") y ![[tex]3z[/tex]](images/latex/b67a52e79fde16336c3f3d3b0f99ec02966badce_0.png "[tex]3z[/tex]") .
Entonces vamos a tratar de expresar eso en formas mas amigables:
• ^{2}=y^{2}-y+\frac{1}{4} [/tex]](images/latex/c1ba55f12a09c09af6a1d04ff9380896bb2ea867_0.png "[tex](y-\frac{1}{2})^{2}=y^{2}-y+\frac{1}{4} [/tex]")
• ^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]](images/latex/e65506c1c8bb34a8d1ef00410f4ce8ad5fe4f1fa_0.png "[tex](z-3)^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]")
Entonces, nos quedaría algo asi:
^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}-\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]](images/latex/f9268cb7a15d369b80bb67913356e3403134547e_0.png "[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}-\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]")
Y pasando las constantes a la derecha:
^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}+(z-\frac{3}{2})^{2}\geq 8 [/tex]](images/latex/b5564a84e338f86341d9f324fd0cb701fd7e6ac8_0.png "[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}+(z-\frac{3}{2})^{2}\geq 8 [/tex]")
Creo que no vas a tener problema en expresar eso en cilindricas
| andrea_r escribió:
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Graficar y describir en cilíndricas:
![[tex] z > (x - 1)^{2}+(y+ 2)^{2} [/tex]](images/latex/5f7e1b1e9163a3231581188a85a7886eb61bee84_0.png "[tex] z > (x - 1)^{2}+(y+ 2)^{2} [/tex]")
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Este es bastante fácil. Tomás (como bien dijiste vos) que
![[tex]x-1=rcos(t) [/tex]](images/latex/f4bf6a1d608a0dbc3371d4adccc8fa1f9912eaf2_0.png "[tex]x-1=rcos(t) [/tex]")
![[tex]y+2=rsin(t) [/tex]](images/latex/cf042627fe04bd4058161ebf56ed6ca3a2595576_0.png "[tex]y+2=rsin(t) [/tex]")
donde ![[tex]r>0[/tex]](images/latex/803d4bb3c49c0e41c71f134d99e301eff5f5dada_0.png "[tex]r>0[/tex]") y ![[tex] 0 \leq t \leq 2\pi[/tex]](images/latex/2b96ca4493b3da713cbfe1634f2c1fda601c7f34_0.png "[tex] 0 \leq t \leq 2\pi[/tex]")
Entonces, reemplazando en la ecuación original:
![[tex]z > r^{2}cos^{2}(t)+r^{2}sin^{2}(t) \longrightarrow z > r^{2}[/tex]](images/latex/58ad92bbfbc669b48d4d35667f8f621a106291d0_0.png "[tex]z > r^{2}cos^{2}(t)+r^{2}sin^{2}(t) \longrightarrow z > r^{2}[/tex]")
Y acá está la cosa, fijate que arriba puse , entonces de ahi sale que ![[tex]r^{2}>0[/tex]](images/latex/3a58702664edefe30e6a5ecb699faa981908c189_0.png "[tex]r^{2}>0[/tex]") y por lo tanto ![[tex]z>0[/tex]](images/latex/3517cab081bce9629f27b824a52f232f1b36d445_0.png "[tex]z>0[/tex]") .
Entonces, descripto en coordenadas cilindricas, creo que es asi:
![[tex]x=rcos(t)+1 [/tex]](images/latex/d97c9e3bc62867da419394c6e1f5c97b86f5dc1b_0.png "[tex]x=rcos(t)+1 [/tex]")
![[tex]y=rsin(t)-2 [/tex]](images/latex/bbddbbf5ec8aa201860d03cfc1b91389ab5b6067_0.png "[tex]y=rsin(t)-2 [/tex]")
![[tex]z=z [/tex]](images/latex/9c46de2565c0ffbc4acb4e22ea66f77df521d340_0.png "[tex]z=z [/tex]")
donde ![[tex]z>0,r>0,0<t<2\pi [/tex]](images/latex/21ca7fef353988da8aa7f3a1da735b61bc2225a2_0.png "[tex]z>0,r>0,0<t<2\pi [/tex]")
El grafico es simplemente un cono que se abre para los ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") positivos, con la punta en (1,-2,0).
Espero no haberme equivocado 
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Lo pongo así porque para escribir, al haber gráficos y expresiones más o menos complejas va a ser más claro. Gracias de nuevo y saludos!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Para el (4), basta demostrar que ![[tex]\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}[/tex]](images/latex/ee7e1f002ec43593518b36230aca37e150e14b2b_0.png "[tex]\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}[/tex]") dentro de una región que no incluya al origen, por ejemplo, el interior de una corona centrada en el origen con radio externo R y radio interno r. Basta usar el teorema de Green, para ver que la circulación sobre el borde de la corona vale 0 (ojo con cuál es el borde). Luego, hace tender el radio r hacia cero para concluir.
Para el (5), si la matriz Jacobiana es continua y simétrica, entonces se cumple que , es decir, su circulación es nula sobre cualquier curva cerrada que no rodee singularidades. Por lo tanto, la respuesta para C4 es directa. Por otro lado, fijate que la curva C3 rodea 2 singularidades, en torno a las cuales sabes cuánto valen las integrales. Desarma la curva C3 convenientemente, pasando por C1 y C2, de manera de poder usar el resultado que te dan como dato con algún camino que no sume nada a la integral (no se si se entiende bien).
Para el (6), definí cualquier dominio compacto que no incluya ni pase por al origen; con eso aseguras la existencia de la función potencial dentro del mismo (ya que su integral dentro de cualquier curva de la región no depende de la curva). La función potencial es ![[tex]f(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)[/tex]](images/latex/2c65a7377237167326d7a5cec61da5637fcc2447_0.png "[tex]f(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)[/tex]") , si mal no recuerdo.
Saludos.
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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Muchas gracias Jackson666! Por lo que entiendo, en estos casos en que la región dada no es simplemente conexa, se puede definir una nueva región en la que no se excluya un único punto, sino un sector y así poder admitir (junto con lo del rotor) luego que el campo es conservativo y con ello la circulación por cualquier curva cerrada incluida en dicha región es cero? Hay alguna manera más bien formal de justificar esto?
En el 4) que me decís de tomar una corona por ejemplo, habría que tender R hacia infinito también? Pues es todo R2 menos el 0. Entiendo lo de tender r a 0.
En el 5) entiendo la curva C4, pero no muy bien la C3. Una respuesta posible sería el que tome una forma tal que la C1 y C2 estén juntas y a su vez, por ejemplo invertir el sentido de C1 para que coincida?? No termino de visualizarlo.
En el 6) me ocurre algo parecido a lo anterior que no termino de tenerlo muy claro. Puedo imaginarme el dominio compacto que me mencionas pero por qué tendría que ser conservativo (más allá que el rotor sea 0)??
Siempre asumí que si el rotor es 0 y se trabaja con un dominio simplemente conexo, "sin agujeros", ahí valen tantas propiedades vistas, pero no encuentro mucho cuando no se da un dominio de esta manera. Me queres decir alguna suerte de definición o generalización que me permita entenderlo un poco más?
Perdón por tantas preguntas y nuevamente gracias!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| nachito44 escribió:
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Muchas gracias Jackson666! Por lo que entiendo, en estos casos en que la región dada no es simplemente conexa, se puede definir una nueva región en la que no se excluya un único punto, sino un sector y así poder admitir (junto con lo del rotor) luego que el campo es conservativo y con ello la circulación por cualquier curva cerrada incluida en dicha región es cero? Hay alguna manera más bien formal de justificar esto?
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No entendí del todo lo que decís. La idea que te comenté es bastante sencilla, tal vez no me expliqué bien. Ahora intento aclarar más.
| nachito44 escribió:
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En el 4) que me decís de tomar una corona por ejemplo, habría que tender R hacia infinito también? Pues es todo R2 menos el 0. Entiendo lo de tender r a 0.
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Con mostrar que es independiente del radio R, alcanza. No hablemos de cosas "infinitas" mejor.
| nachito44 escribió:
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En el 5) entiendo la curva C4, pero no muy bien la C3. Una respuesta posible sería el que tome una forma tal que la C1 y C2 estén juntas y a su vez, por ejemplo invertir el sentido de C1 para que coincida?? No termino de visualizarlo.
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Uní la curva C3 con las curvas interiores mediante segmentos de rectas. Pones 1 que vaya de C3 a C1, otra de C1 a C2 y otra de C2 a C3. Dividí C3 en 2 mitades, una superior y otra inferior. Calcula la circulación por la curva frontera de la región de arriba; lo mismo para la de abajo. Ahí podes usar el teorema de Green, porque no hay singularidades encerradas (ojo con las orientaciones). Escribí integral por integral (separadas por los tramos de curvas que te menciono). Te van a quedar 2 ecuaciones con integrales igualadas a cero; en una se involucra la mitad superior del contorno C3 y en la otra su mitad inferior. Sumas ambas ecuaciones y se te deberían cancelar las circulaciones por los tramos de rectas. Concluís que la circulación por C3 es la suma de las circulaciones por C1 y C2, con el mismo sentido (eso se llama extensión del teorema de Green a regiones múltiplemente conexas).
| nachito44 escribió:
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En el 6) me ocurre algo parecido a lo anterior que no termino de tenerlo muy claro. Puedo imaginarme el dominio compacto que me mencionas pero por qué tendría que ser conservativo (más allá que el rotor sea 0)??
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Si el campo de porquería ese que te dan f(x,y) tiene matriz Jacobiana continua y simétrica en una región simplemente conexa, entonces admite función potencial allí.
| nachito44 escribió:
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Siempre asumí que si el rotor es 0 y se trabaja con un dominio simplemente conexo, "sin agujeros", ahí valen tantas propiedades vistas, pero no encuentro mucho cuando no se da un dominio de esta manera. Me queres decir alguna suerte de definición o generalización que me permita entenderlo un poco más?
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Está bien la idea que tenes. Lo que pasa, creo yo, es que te estas "cerrando" o no estas viendo algunas cosas. Pensa en esto: para que una función de 2 variables reales admita primitiva en una región, basta ver que su matriz Jacobiana es simétrica y continua en una región simplemente conexa. Ahora... Si en la matriz te aparece una "x" o una "y" o algo por el estilo dividiendo (por ejemplo) es evidente, creo yo, que en cualquier región que contenga al origen esa función no va a tener una primitiva, porque no se cumple la continuidad. Pero si considero cualquier otra región que no lo rodee, la matriz está definida y es simétrica. Por lo tanto, la función potencial existe.
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Primeramente como vengo diciendo, muchas gracias. Hay algunas cosas que quizás necesitan decantar un poco, pero creo entenderlas. Me ataba mucho a lo de "conjunto abierto simplemente conexo" sin irme mucho de eso por temor a equivocarme. Cuando perfectamente puedo trabajar con conjuntos compactos por ejemplo. Lo único es que en el 5) puedo obtener distintos resultados según, hablando intuitivamente, considere que paso por la mitad de arriba o abajo en la sección de C1 y C2, aunque claro está puedo ver que se trata de operaciones sencillas entre dichas circulaciones. Tengo que "acomodar" todo para que resulte la suma de las circulaciones de C1 y C2 en el mismo sentido de C3? En este caso, obteniendo 4-2=2, o se puede variar un poco y mientras se respeten los valores conocidos hacerlo como uno quiera?? Gracias y saludos!
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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Estuve todo el día literalmente tratando de hacer el ejercicio 7)a) de la guía 8 y no puedo... El ejercicio pide resolver la integral doble sobre D de "e^[(y-x)/(x+y)] dxdy", siendo D descripto por "x+y" menor o igual que "2" y "x" e "y" mayores o iguales que "0". Vale aclarar que se pide aplicar una transformación lineal conveniente.
Yo pensé en el cambio (u,v)=(y-x,x+y) y luego calculando el jacobiano e intentando resolver llego a indeterminaciones. Creo yo que mi falla reside en el tema de los límites al realizar el cambio de variables, pues todo el tiempo se me ocurren distintas cosas y no me es claro que tomar como los otros ejercicios.
Si alguno me puede dar una mano se lo agradecería mucho! Saludos!
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Ok, el ejercicio pide calcular![[tex]\iint_{D}e^{\frac{y-x}{x+y}} \, dx dy [/tex]](images/latex/feac8e3c37954da6ec5100eddac9e4486b9b75be_0.png "[tex]\iint_{D}e^{\frac{y-x}{x+y}} \, dx dy [/tex]") siendo D:
(1)
![[tex]x+y \leq 2 [/tex]](images/latex/7df06bcad2428e6a1e5869051c48738337859936_0.png "[tex]x+y \leq 2 [/tex]")
![[tex]x \geq 0 [/tex]](images/latex/382f4478218bedc7833ab09d8467291cebdbde57_0.png "[tex]x \geq 0 [/tex]")
![[tex]y \geq 0 [/tex]](images/latex/a0a098d79054a9d11a8fa813f60d4c9383f62608_0.png "[tex]y \geq 0 [/tex]")
Si tomas la transformación
![[tex]u = y-x [/tex]](images/latex/34edf5b42677689ac0200677a867e08de0dbd226_0.png "[tex]u = y-x [/tex]")
![[tex]v = x+y[/tex]](images/latex/4e3db57b88a91cd6b86579997eb183009bede405_0.png "[tex]v = x+y[/tex]")
Y despejas, te queda que
(2)
![[tex]x= (v-u)/2 [/tex]](images/latex/ec2d45e5b49406a4e6ecee02600b889861d0f48e_0.png "[tex]x= (v-u)/2 [/tex]")
![[tex]y = (u+v)/2 [/tex]](images/latex/4dd90eb1793bb5b4c93140f922d4c99f7631036d_0.png "[tex]y = (u+v)/2 [/tex]")
Y el jacobiano es ![[tex]|J|=0.5[/tex]](images/latex/6f2fbf2558b327543d3360b9918729b0c9b10158_0.png "[tex]|J|=0.5[/tex]") .
Osea que tus nuevos límites (agarras las ecuaciones en (1) y las reemplazas por (2)) son
/2 + (u+v)/2 \leq 2 [/tex]](images/latex/453ea7b3fcf21200e639e91d1c09721a217d3abe_0.png "[tex](v-u)/2 + (u+v)/2 \leq 2 [/tex]")
/2 \geq 0 [/tex]](images/latex/1a9826d7d6fbf26b7ccc145eb51ae9183b192049_0.png "[tex](v-u)/2 \geq 0 [/tex]")
/2 \geq 0 [/tex]](images/latex/58e125d1cb53b4ce65817c653b7b633c9ec0e43e_0.png "[tex](u+v)/2 \geq 0 [/tex]")
Es decir
![[tex] v \leq 2 [/tex]](images/latex/ea730fc152e099e7d9dc974863dfc54752b70155_0.png "[tex] v \leq 2 [/tex]")
(En este grafico el eje X es U y el eje Y es V)
Osea que tu nueva integral puede calcularse como
![[tex]\int_{0}^{2} dv \int_{-v}^{v} e^{\frac{u}{v}} \cdot J \, du [/tex]](images/latex/6398766ccc9a974298d2adeeecbb695b2a061df8_0.png "[tex]\int_{0}^{2} dv \int_{-v}^{v} e^{\frac{u}{v}} \cdot J \, du [/tex]")
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Última edición por loonatic el Jue Nov 24, 2011 9:14 pm, editado 1 vez
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Gracias genia! Efectivamente estaba mal mi razonamiento con los límites de integración! Pregunta aparte... que programa usas para graficar?? Saludos!
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| nachito44 escribió:
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Gracias genia! Efectivamente estaba mal mi razonamiento con los límites de integración! Pregunta aparte... que programa usas para graficar?? Saludos!
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Winplot (:
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