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cacho89
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 30
Carrera: Electrónica
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Hola yo rendi ayer al final xq se corrieron las fechas.
El final fueron 4 ejercicios.
1) ![[tex]Y(t) = X(t) + N(t)[/tex]](images/latex/d8134e206e70e114438ebff856664adb6b9798f5_0.png "[tex]Y(t) = X(t) + N(t)[/tex]")
con N(t) ruido blanco con ![[tex]S_N(\omega) = N_0/2[/tex]](images/latex/fae4d653b86ff8ca5bedced43cac8ff281df1d43_0.png "[tex]S_N(\omega) = N_0/2[/tex]")
![[tex] X(t) = a \, cos(\omega_0 \cdot t+\Theta) [/tex]](images/latex/cf01138ed134cbe06bef26ecb4b2f013fd5fee5e_0.png "[tex] X(t) = a \, cos(\omega_0 \cdot t+\Theta) [/tex]") , con ![[tex] \Theta = U(0,2\pi) [/tex]](images/latex/9e5b790fb5ed801b53af208057c760aeaf21ff59_0.png "[tex] \Theta = U(0,2\pi) [/tex]")
Y se mandaba Y(t) como entrada a un sistema pasabandas ideal
![[tex] H_{BP}(\omega) = \left\{ \begin{array}{rl} 1, & |\omega-\omega_0|<W/2 \\ 0, & otro \, caso \end{array} \right.[/tex]](images/latex/91e7811822892301b7916e2102c429934b48f180_0.png "[tex] H_{BP}(\omega) = \left\{ \begin{array}{rl} 1, & |\omega-\omega_0|<W/2 \\ 0, & otro \, caso \end{array} \right.[/tex]")
Había que hallar la densidad espectral de la salida del filtro. Y la SNR
2)
Era un sistema LTI con respuesta impulsiva
![[tex] h(n) = u(n)-u(n-(N+1)) [/tex]](images/latex/06e8e0fa0a18209bb323c9037e29a0b788efde56_0.png "[tex] h(n) = u(n)-u(n-(N+1)) [/tex]")
La entrada del sistema era una V.A. ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]") de media ![[tex]m[/tex]](images/latex/8e349c3441562c88539c4313e65436befd51648b_0.png "[tex]m[/tex]") y varianza ![[tex]\sigma^2[/tex]](images/latex/0bf6b5ab83fe2e8540595f387ce935df88539782_0.png "[tex]\sigma^2[/tex]") .
Te pedia calcular el valor medio de la salida, la varianza de la salida y la autocorrelación.
3) Habia que demostrar que si se tiene un proceso de Poisson de tasa ![[tex] \lambda[/tex]](images/latex/a3694510214be5ce0a0ee30b6938117592fbab5d_0.png "[tex] \lambda[/tex]") y se este se separa en dos procesos con una probabilidad ![[tex] p[/tex]](images/latex/7b69e0632e4a89639604aa53ea1891099ab3e688_0.png "[tex] p[/tex]") y ![[tex] (1-p) [/tex]](images/latex/be0726781b71ef97c05332fce3d8484e57e85c89_0.png "[tex] (1-p) [/tex]") se obtienen otros dos procesos de Poisson de tasas ![[tex] \lambda\cdot p[/tex]](images/latex/7a14be37e5a99f7770efab46d9d3d28329765835_0.png "[tex] \lambda\cdot p[/tex]") y ![[tex] \lambda\cdot (1-p)[/tex]](images/latex/434912bcdf1b71a00090c632ae95323f5fd0b72a_0.png "[tex] \lambda\cdot (1-p)[/tex]")
4) Con las mismas entradas del 1) pero con un filtro de primer orden
![[tex] H(j\omega) = \frac{1}{1+j \omega / \omega_c} [/tex]](images/latex/75d2ee4dda764064ab655c6ce6ff45a1810fbd43_0.png "[tex] H(j\omega) = \frac{1}{1+j \omega / \omega_c} [/tex]")
Había que encontrar la frecuencia de corte que maximice la SNR
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cacho89
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Solución
1) ![[tex] Y(t) * h(n) = V(t)+W(t) [/tex]](images/latex/1da3a97204111a8b16d5519d7afc8b8803131f95_0.png "[tex] Y(t) * h(n) = V(t)+W(t) [/tex]")
![[tex] R_X(\tau) = \frac{a^2}{2} cos( \omega_0 \tau) [/tex]](images/latex/1535f3cc21324498196897516ecfbb27cc853c12_0.png "[tex] R_X(\tau) = \frac{a^2}{2} cos( \omega_0 \tau) [/tex]")
![[tex] S_X(\omega) = \frac{a^2}{2}\pi \cdot [ \delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)][/tex]](images/latex/0c15d5869c09fa8838120c7e7483ad7f1640c681_0.png "[tex] S_X(\omega) = \frac{a^2}{2}\pi \cdot [ \delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)][/tex]")
![[tex] S_N(\omega) = \frac{N_0}{2}[/tex]](images/latex/8c5e8d6793384dc3119eb4423568f70b6e2e1475_0.png "[tex] S_N(\omega) = \frac{N_0}{2}[/tex]")
![[tex] S_V(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega) [/tex]](images/latex/1c18af3edab9c18a2db8a6ea7a9be6db71dfbf71_0.png "[tex] S_V(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega) [/tex]")
![[tex] S_W(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_N(\omega) [/tex]](images/latex/81f09ba4e42c7a655a93a232f8fcf0c7dc9d696b_0.png "[tex] S_W(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_N(\omega) [/tex]")
![[tex] \rho = \frac{\sigma_V^2}{\sigma_W^2} [/tex]](images/latex/a73c194164e113ea17fa2d5d89aaea43cb252765_0.png "[tex] \rho = \frac{\sigma_V^2}{\sigma_W^2} [/tex]")
![[tex] \sigma_V^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_V(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \frac{a^2}{2}2\pi = \frac{a^2}{2} [/tex]](images/latex/a0a6cb238edd184c5e355a822a7819b836235e71_0.png "[tex] \sigma_V^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_V(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \frac{a^2}{2}2\pi = \frac{a^2}{2} [/tex]")
![[tex] \sigma_W^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_W(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} 2 W \frac{N_0}{2} = \frac{N_0 W}{2\pi} [/tex]](images/latex/3ee03c567bf296c7610fd4547ea68080938ee0c7_0.png "[tex] \sigma_W^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_W(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} 2 W \frac{N_0}{2} = \frac{N_0 W}{2\pi} [/tex]")
![[tex] \rho = \frac{a^2}{N_0 W \pi} [/tex]](images/latex/3a2fdc3ab49b5c326fae1f8106ca71a53c924a56_0.png "[tex] \rho = \frac{a^2}{N_0 W \pi} [/tex]")
2) ![[tex] H(z) = \frac{1+z^{-(N+1)}}{1+z^{-1}}[/tex]](images/latex/17932f4dce63b4c7e7e486db8b034a9580326428_0.png "[tex] H(z) = \frac{1+z^{-(N+1)}}{1+z^{-1}}[/tex]")
![[tex] M(z) = H(z) H(1/z) = \frac{2 - (z^{(N+1)}+z^{-(N+1)}}{2 - (z+z^{-1})} = \frac{(z^{(N+1)/2}-z^{-(N+1)/2})^2}{(z^{1/2}-z^{-1/2})^2} [/tex]](images/latex/436d31a5521352d09b29414f0df7cd79caacab7a_0.png "[tex] M(z) = H(z) H(1/z) = \frac{2 - (z^{(N+1)}+z^{-(N+1)}}{2 - (z+z^{-1})} = \frac{(z^{(N+1)/2}-z^{-(N+1)/2})^2}{(z^{1/2}-z^{-1/2})^2} [/tex]")
![[tex] |H(\omega)|^2 = {M(z= e^{j\omega} )}^2 = \left( \frac{\sin(\omega \frac{(N+1)}{2})}{\sin(\omega \frac{1}{2})} \right)^4 [/tex]](images/latex/c4dd1ef59ac50342457ebe77b48e00f39366cfa0_0.png "[tex] |H(\omega)|^2 = {M(z= e^{j\omega} )}^2 = \left( \frac{\sin(\omega \frac{(N+1)}{2})}{\sin(\omega \frac{1}{2})} \right)^4 [/tex]")
![[tex] |H(0)|^2 = (N+1)^4[/tex]](images/latex/69081611aa58d7a31275336af45c1a0bfb1810cd_0.png "[tex] |H(0)|^2 = (N+1)^4[/tex]")
![[tex] Y(n) = X * h(n) [/tex]](images/latex/3fffcafdeb32ae87328c8d2f1cc0a4f81310787e_0.png "[tex] Y(n) = X * h(n) [/tex]")
![[tex] S_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega)[/tex]](images/latex/783e1dd8a2a4857fb03bcdaf03492bfe68f175dc_0.png "[tex] S_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega)[/tex]")
![[tex] R_X(k) = E[X\, X] = m^2+\sigma^2 [/tex]](images/latex/f3037947feaa85669d2310d03c6fc9cf90ada18a_0.png "[tex] R_X(k) = E[X\, X] = m^2+\sigma^2 [/tex]")
![[tex] S_X(\omega) = 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2) [/tex]](images/latex/6e2c99fea843548d221a884a2a020edba30140df_0.png "[tex] S_X(\omega) = 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2) [/tex]")
![[tex] S_Y(\omega) = |H(0)|^2 \, 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2) = (N+1)^4\, 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2)[/tex]](images/latex/cf2bd836cea8d2f1bf0712c3a850a38853a9d934_0.png "[tex] S_Y(\omega) = |H(0)|^2 \, 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2) = (N+1)^4\, 2\pi \, \delta(\omega) \,(m^2+\sigma^2)[/tex]")
![[tex] R_Y(k) = (N+1)^4 \,(m^2+\sigma^2)[/tex]](images/latex/53ddfa12bfabfc4528226ece52a929c37f3eba3d_0.png "[tex] R_Y(k) = (N+1)^4 \,(m^2+\sigma^2)[/tex]")
![[tex] m_Y = (N+1)^2 \, m[/tex]](images/latex/6dfd806acb92497fe10cfa8d43061d20bb98a6f3_0.png "[tex] m_Y = (N+1)^2 \, m[/tex]")
![[tex] \sigma_Y^2 = (N+1)^4 \, \sigma^2[/tex]](images/latex/1103a5a428084dd3ba037eb1be8451ddcf1db90e_0.png "[tex] \sigma_Y^2 = (N+1)^4 \, \sigma^2[/tex]")
3) Este sale con función característica
![[tex] N(t)=Poisson(\lambda t) [/tex]](images/latex/cef0686e1fd71762f97d2df3514c2522587031ac_0.png "[tex] N(t)=Poisson(\lambda t) [/tex]")
![[tex] N_0(t)=Poisson(\lambda p t) [/tex]](images/latex/7f6588154ab6e32b3ab21e36d274df64f0fb67d8_0.png "[tex] N_0(t)=Poisson(\lambda p t) [/tex]")
![[tex] N_1(t)=Poisson(\lambda (1-p) t) [/tex]](images/latex/8bce7a5d7bfebf7f5b3306f4c5d0ea6321a114da_0.png "[tex] N_1(t)=Poisson(\lambda (1-p) t) [/tex]")
![[tex] N(t) = N_0(t)+N_1(t)[/tex]](images/latex/a5fbe1a3f9753829ba7ca0a583a5f71131adf653_0.png "[tex] N(t) = N_0(t)+N_1(t)[/tex]")
![[tex] p_N(n) = p_{N_0}(n) * p_{N_1}(n)[/tex]](images/latex/ac582c189cdbe1160762790d56112b2d6f99c14b_0.png "[tex] p_N(n) = p_{N_0}(n) * p_{N_1}(n)[/tex]")
![[tex] \Phi_N(\omega) = \Phi_{N_0}(\omega) \cdot \Phi_{N_1}(\omega)[/tex]](images/latex/3f962cbcf89729cc7a6a8aa7c936d3ba394b7329_0.png "[tex] \Phi_N(\omega) = \Phi_{N_0}(\omega) \cdot \Phi_{N_1}(\omega)[/tex]")
![[tex] \Phi_N(\omega) = e^{\lambda \cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]](images/latex/8dadfae87196ea5d02ab5bb0980c3b7c7e7f0e0e_0.png "[tex] \Phi_N(\omega) = e^{\lambda \cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]")
![[tex] \Phi_{N_0}(\omega) = e^{\lambda p \cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]](images/latex/a446c665d6af31216124da4e17d89b0b05661c95_0.png "[tex] \Phi_{N_0}(\omega) = e^{\lambda p \cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]")
![[tex] \Phi_{N_1}(\omega) = e^{\lambda (1-p)\cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]](images/latex/4e1c576fe5ce8597cecec4829d0aad67bcf149d5_0.png "[tex] \Phi_{N_1}(\omega) = e^{\lambda (1-p)\cdot (e^{j\omega}-1) } [/tex]")
4)
Usando la info y las mismas fórmulas que en el ejercicio 1 encontramos la densidad espectral de la salida .
![[tex] \sigma_V^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_V(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \frac{2\pi}{1+(\omega_0/\omega_c)^2} [/tex]](images/latex/64c54ff89607ae8ea77acacd29f630de2a687c23_0.png "[tex] \sigma_V^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_V(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \frac{2\pi}{1+(\omega_0/\omega_c)^2} [/tex]")
![[tex] \sigma_W^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_W(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \pi \omega_c \frac{N_0}{2} = \frac{N_0 \omega_c}{4} [/tex]](images/latex/3ff712c30b56bf59be2413c9f584e07865b8cb2a_0.png "[tex] \sigma_W^2 = \frac{1}{2\pi} \int S_W(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \pi \omega_c \frac{N_0}{2} = \frac{N_0 \omega_c}{4} [/tex]")
![[tex] \rho = \frac{4}{N_0} \frac{1}{\omega_c \cdot [1+(\omega_0/\omega_c)^2]} = \frac{4}{N_0} \frac{1}{f(\omega_c)} [/tex]](images/latex/332096ffa1d7fef7fb93f4ecb83d61f4f7fc57fb_0.png "[tex] \rho = \frac{4}{N_0} \frac{1}{\omega_c \cdot [1+(\omega_0/\omega_c)^2]} = \frac{4}{N_0} \frac{1}{f(\omega_c)} [/tex]")
![[tex] \frac{d f(\omega_c)}{d\omega_c} = 1 - (\omega_0/\omega_c)^2 = 0[/tex]](images/latex/521c1fff76e3fabae22cb3cb2e4b188416658ed1_0.png "[tex] \frac{d f(\omega_c)}{d\omega_c} = 1 - (\omega_0/\omega_c)^2 = 0[/tex]")
![[tex] \omega_c = \omega_0 [/tex]](images/latex/bc7a8650fdcee584995874a1dfacaddd98a80196_0.png "[tex] \omega_c = \omega_0 [/tex]")
Nose si tuve algún error.
Si encuentran alguno avisenme
Saludos
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Joaquin7
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 08 Ago 2008
Mensajes: 37
Ubicación: capital
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Si, el dos lo tenes horrible, jajja. Como diría Belaustegui:
"NO DEBE aprobar por desconocer un concepto fundamental de la materia."
igual re bien, aprobaste con 7.
Bue, poniendonos mas serios, corrijo el error que lo vimos juntos.
Se confundio al no darse cuenta que la entrada es una secuencia de variables aleatorias INDEPENDIENTES, y no UNA variable aleatoria. Hay un poco de culpa en el enunciado que suelen ser confusos en la redaccion.
![[tex] Y(n) = x(n) * h(n) [/tex]](images/latex/59be1ae8eca304d10e73d1142c2458a4263c0ffc_0.png "[tex] Y(n) = x(n) * h(n) [/tex]")
![[tex] E[Y]=E[\sum{x(k).h(k-n)}]=\sum{m_x.h(k-n)}=(N+1).m_x[/tex]](images/latex/e5cc5d63bc9f2519adb095d5af52147477382871_0.png "[tex] E[Y]=E[\sum{x(k).h(k-n)}]=\sum{m_x.h(k-n)}=(N+1).m_x[/tex]")
![[tex] S_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega)[/tex]](images/latex/8b9846f9beab59e10bf2dfa221fe042e5e1b92ae_0.png "[tex] S_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot S_X(\omega)[/tex]")
![[tex] S_Y(z) = H(z)H(z^{-1}) \cdot S_X(z)[/tex]](images/latex/0838ec07a2e31be0a66ffe31bd6bb03197cb4fcf_0.png "[tex] S_Y(z) = H(z)H(z^{-1}) \cdot S_X(z)[/tex]")
![[tex] R_X(k) = E[X(n)X(n+k)] =E[X(n)]E[X(n+k)] = m_x^2[/tex]](images/latex/aebbd2bbcf28a2e01e002f2824a8a9faf658ff9a_0.png "[tex] R_X(k) = E[X(n)X(n+k)] =E[X(n)]E[X(n+k)] = m_x^2[/tex]")
![[tex] R_X(0) = E[X(n)X(n)] = m_x^2 + \sigma_x ^2[/tex]](images/latex/0209d65ea4403740be8f9e31def05d8977d7d26d_0.png "[tex] R_X(0) = E[X(n)X(n)] = m_x^2 + \sigma_x ^2[/tex]")
![[tex]R_X(k) =m_x^2 + \sigma_x ^2 . \delta (k)[/tex]](images/latex/c0a2607730b1da813ea602e15a5f00f6db19c453_0.png "[tex]R_X(k) =m_x^2 + \sigma_x ^2 . \delta (k)[/tex]")
![[tex] S_X(\omega) = 2\pi \, \delta(\omega) \,m^2 + \sigma^2 [/tex]](images/latex/bb733fc04a3a8d4101ee79b2ae89f82a459c8f2d_0.png "[tex] S_X(\omega) = 2\pi \, \delta(\omega) \,m^2 + \sigma^2 [/tex]")
![[tex] S_Y(\omega) = 2\pi \, \bigtriangleup (\omega) \,m_x^2 + \sigma_x^2 [/tex]](images/latex/be525ffaa2c8ece3ae7e6343ebe7200d6d5321bd_0.png "[tex] S_Y(\omega) = 2\pi \, \bigtriangleup (\omega) \,m_x^2 + \sigma_x^2 [/tex]")
![[tex] \sigma_Y^2 = (N+1)^2 \, \sigma_x^2[/tex]](images/latex/77c8b43018db0d48c6a7427ecc0def71af89a35e_0.png "[tex] \sigma_Y^2 = (N+1)^2 \, \sigma_x^2[/tex]")
el ![[tex] \bigtriangleup (\omega) [/tex]](images/latex/307eba8e10575f4ebd7c86e80ddeca7a3a547c94_0.png "[tex] \bigtriangleup (\omega) [/tex]") es un triangulo centrado en cero... aparece de convolucionar h(n) con h(-n)
Creo (creemos, por que lo resolvimos juntos) que era asi en realidad.. obviamente puede que nos equivoquemos.
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