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agusvazquez
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 10 Mar 2010
Mensajes: 252
Carrera: Informática y Sistemas
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Hola aca tengo un problema con un ejercicio,
la idea seria sacar la matriz Q, con eso ya sale todo, pero me dicen que
Q es una matriz R2x2 ortogonal de determinante positivo tal que Q.u = v
con u = (1 1)t y v = (0 (raiz de 2))t
t es transpuesto...
el tipo de prelat dice q es una matriz de rotacion y la verdad es q no entiendo como llega a eso...
alguien sabe??
Saludos! 
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fer90
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 14 Sep 2009
Mensajes: 1117
Ubicación: San Martín
Carrera: Informática y Sistemas
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Llegás a que es una matriz de rotación porque una matriz ortogonal tiene dos determinantes posibles (1 y -1). Si en el enunciado te dice que el determinante es positivo, entonces el determinante es 1, lo que la convierte en una matriz de rotación.
Ahora bien, lo que yo hice fue llamar a Q como a,b,c,d (a = X11, b=X12, c=X21, d=X22).
Resolviendo Q.u=v con los valores que planteaste, llegás a un sistema tal que:
a + b = 0 y c + d = sqrt(2). Por ende a = -b.
Del cálculo del determinante, sabemos que a*d - b*c = 1 y reemplazando a = -b me queda:
-b*d - b*c = 1
-b (d + c) = 1 (sabemos por el sist. de ecuaciones anterior que c + d = sqrt(2))
-b (sqrt(2)) = 1
b = -1/sqrt(2)
Y como a = -b ==> a = 1/sqrt(2)
Sacamos dos valores de la matriz.
Otra propiedad copada de las matrices ortogonales, es que siendo Q ortogonal, entonces Q*Qt = Qt*Q = Id.
Reemplazando los dos valores que calculamos y con las dos incógnitas por sacar, llegamos desde éste último cálculo a que el módulo de C es igual al módulo de D ambos iguales a 1/sqrt(2)
Y relacionando con el determinante, para que éste sea positivo, la única manera es que ambas incógnitas sean positivas.
Entonces A = 1/sqrt(2), B = -1/sqrt(2) C = 1/sqrt(2) y D = 1/sqrt(2).
PD1: Confío en lo que hice, creo que está bien, que alguien corrobore
PD2: Sí, soy un foro, no uso LaTeX, tengo que aprender YA, así que perdoná la desprolijidad!
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agusvazquez
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 10 Mar 2010
Mensajes: 252
Carrera: Informática y Sistemas
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gracias por la respuesta!!!
Aunque eso no era propiedad de las matrices ortonormales? aca te dice que es ortogonal, por lo que si yo tengo (ejemplo) la matriz
1 -5
5 1 el determinante es 26.
Y eso del Q.Qt es de una matriz unitaria, y para q sea unitaria tiene que ser ortonormal.
Por eso no me cierra bien, el enunciado dice ortogonal... y en el resuelto de prelat tira plantea
a -b
b a y el determinante vale 1
tonces te queda a^2 + b^2 = 1.
Pero reitero el enunciado dice ortogonal, no ortonormal.
Por cierto, yo tampoco se usar latex =(
Saludos!
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fer90
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 14 Sep 2009
Mensajes: 1117
Ubicación: San Martín
Carrera: Informática y Sistemas
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Pero si es ortonormal, ¿no es también ortogonal? Aunque creo que nunca escuché el término "matriz ortonormal".
¿El enunciado pide 1 sola matriz Q o todas las posibles?
¿El resuelto dice que es la única manera de hacerlo?
EDIT: Otra cosa, esa matriz que pusiste no es ortogonal. Fijate que su inversa no coincide con su transpuesta.
EDIT2: Una cosa más . La propiedad de Q.Qt = Qt.Q = Id vale para matrices ortogonales, ya que, justamente, siendo Qt=Q^(-1) por definición, entonces Q.Qt = Q.Q^(-1)=Id.
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Última edición por fer90 el Lun Jul 25, 2011 7:27 pm, editado 1 vez
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JJAIME
Nivel 2
Registrado: 30 Jun 2011
Mensajes: 9
Ubicación: Berazategui
Carrera: Electrónica
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las matrices ortogonales y unitaria tienen ava 1y/o -1 y son sus col. ortogonales, como el det es positivo deben ser los avas 1, tambien se ve que el modulo de ambos vctores es raiz de 2 pero el segundo esta rotado 45grados en sentido horario
entoces me parece que la matriz es :
cos45 -sen45
sen45 cos45
=
(r2)/2 . 1 -1
1 1
estube viendo el ejercicio 36 de la practica 4
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agusvazquez
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 10 Mar 2010
Mensajes: 252
Carrera: Informática y Sistemas
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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Una matriz ortogonal tiene siempre sus columnas con normal igual a 1.
En otras palabras una matriz ortogonal es lo que vos llamarias una "BON", o una "matriz ortonormal".
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agusvazquez
Nivel 6
Edad: 33
Registrado: 10 Mar 2010
Mensajes: 252
Carrera: Informática y Sistemas
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| pwagma escribió:
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Una matriz ortogonal tiene siempre sus columnas con normal igual a 1.
En otras palabras una matriz ortogonal es lo que vos llamarias una "BON", o una "matriz ortonormal".
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eh posta? estas seguro?
acero diferenciaba bien las matrices ortogonales que las ortoNORMALES
saludos!
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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Me parece que te estas confundiendo con las bases BOG y BON.
Una matriz ortogonal es cuando Q transpuesta = Q a la menos 1.
Para lograr esto la matriz debe tener sus 3 columnas ortonormales.
También es interesante la caracterísitca de que sus determinante es siempre 1 o menos 1, o sea, sus autovalores son 1 o -1.
saludos
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AlanB
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 08 Mar 2010
Mensajes: 977
Ubicación: Quilmes
Carrera: Mecánica
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Mirá, hasta donde yo tengo entendido:
Una matriz no es ortonormal, lo que es ortonormal son sus columnas o filas. Justamente una matriz ortogonal (podríamos decir unitaria en reales) es una matriz que sus filas y columnas son ortonormales y que su inversa es igual a su traspuesta. Me parece que te estás haciendo tremendo lío de nombres...
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fer90
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 14 Sep 2009
Mensajes: 1117
Ubicación: San Martín
Carrera: Informática y Sistemas
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| AlanB escribió:
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Podríamos decir unitaria en reales complejos
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La matriz unitaria abarca los vectores complejos. Y claro, sus columnas forman una BON del espacio correspondiente.
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AlanB
Nivel 9
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Registrado: 08 Mar 2010
Mensajes: 977
Ubicación: Quilmes
Carrera: Mecánica
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| Por eso, la unitaria en reales sería la ortogonal, a eso me refería
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fer90
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 14 Sep 2009
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Carrera: Informática y Sistemas
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| Aa, perdón, lo interpreté mal!
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agusvazquez
Nivel 6
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