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Mensaje |
JJAIME
Nivel 2
Registrado: 30 Jun 2011
Mensajes: 9
Ubicación: Berazategui
Carrera: Electrónica
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hola
estube tratando de resolver el ejercicio del integrado que dice:
Sea A perteneciente a C2*2 con 2 ava distintos. Probar que si B pertenece a C2*2 es tal que AB =BA, entonces B es diagonalizable.
hay una propiedad que dice que dos matrices diagonalizables A y B, son conmutables (AB = BA) si sólo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).
si alguien me puede ayudar muchas gracias
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julia.gambuzzi
Nivel 2
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 9
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Si vos sabes que ![[tex]Av_{1} = \lambda_{1} v_{1}[/tex]](images/latex/c5af89376c56fe30bd4c4d542b8eba38f06220ed_0.png "[tex]Av_{1} = \lambda_{1} v_{1}[/tex]") , multiplicando a la izquierda por la matriz B te queda ![[tex]BAv_{1} = \lambda_{1}Bv_{1}[/tex]](images/latex/9d115f55ce880db7ed002c30e32d56aae605a350_0.png "[tex]BAv_{1} = \lambda_{1}Bv_{1}[/tex]") que es lo mismo (porque conmutan) que ![[tex]ABv_{1} = \lambda_{1}Bv_{1}[/tex]](images/latex/28e0be8879d9d7062ae59b7b45206883ed08b658_0.png "[tex]ABv_{1} = \lambda_{1}Bv_{1}[/tex]") . Entonces el vector ![[tex]Bv_{1}[/tex]](images/latex/074c3d3241da7ac31aa81fd3abd30d5b4a0bf9d1_0.png "[tex]Bv_{1}[/tex]") también es AVE de A.
Pero si este vector es AVE de A asociado a ese AVA, necesariamente está contenido en el autoespacio generado por ![[tex]v_{1}[/tex]](images/latex/9475db80aa812fee766a94532507abedb8ec7d2a_0.png "[tex]v_{1}[/tex]") . Entonces, necesariamente tiene que ser ![[tex]Bv_{1} = \alpha_{1}v_{1}[/tex]](images/latex/371ae3dbd106317b7f925f04287aa57cd4612391_0.png "[tex]Bv_{1} = \alpha_{1}v_{1}[/tex]") . De donde es también AVE de la matriz B.
Para el otro AVA se hace lo mismo, como los vectores provienen de AVAS distintos, entonces son LI, por lo que B es diagonalizable.
Saludos
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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| julia.gambuzzi escribió:
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Esto esta mal, los autovalores no tienen porque ser los mismos. La diagonal es diferente. Nunca te quedaría D cuadrado.
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Don Cangrejo
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 608
Ubicación: por ahí...
Carrera: Electrónica
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| pwagma escribió:
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| julia.gambuzzi escribió:
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Con el dato de que A tiene 2 autovalores distintos, sabés que va a tener cada uno un autovector asociado distinto LI entre si.
Con eso sabés que A es diagonalizable ya que coincide la multiplicidad algebraica y geométrica para cada autovalor.
Como además te dicen que AB son conmutables
Suponés que comparten la base ortonormal para demostrar que cumplen con la propiedad que decís:
AB=BA => (como son diagonalizables) PDP^-1PDP^1 = PDP^-1PDP^1 => (P^-1P = I)
PD^2P^1=PD^2P^1
Llegas a una igualdad por lo que estaba bien suponer que B era diagonalizable y que comparte la base con A
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Esto esta mal, los autovalores no tienen porque ser los mismos. La diagonal es diferente. Nunca te quedaría D cuadrado.
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No, es mas, dice que son diferentes, eso permite que la coincida la multiplicidad Geo y Alg para cada AVL.
Bueno, usando eso se puede hacer lo siguiente:
![[tex]\begin{array}{l} A \cdot B = B \cdot A \\ A = P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ A \cdot B = B \cdot A \\ P \cdot D \cdot P^{ - 1} \cdot B = B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ P^{ - 1} \cdot \left( {P \cdot D \cdot P^{ - 1} \cdot B} \right) = P^{ - 1} \cdot \left( {B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} } \right) \\ D \cdot P^{ - 1} \cdot B = P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ P^{ - 1} \cdot B = D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ B = P \cdot \underbrace {D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot }_{D_B }P^{ - 1} \\ D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \\ P \cdot D = P' \\ D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} = P'^{ - 1} \\ D_B = P'^{ - 1} \cdot B \cdot P' \\ \end{array}[/tex]](images/latex/d8da99c6fb23faec62119528ff4ac5ab5b9f6ae0_0.png "[tex]\begin{array}{l} A \cdot B = B \cdot A \\ A = P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ A \cdot B = B \cdot A \\ P \cdot D \cdot P^{ - 1} \cdot B = B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ P^{ - 1} \cdot \left( {P \cdot D \cdot P^{ - 1} \cdot B} \right) = P^{ - 1} \cdot \left( {B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} } \right) \\ D \cdot P^{ - 1} \cdot B = P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ P^{ - 1} \cdot B = D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot P^{ - 1} \\ B = P \cdot \underbrace {D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \cdot }_{D_B }P^{ - 1} \\ D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} \cdot B \cdot P \cdot D \\ P \cdot D = P' \\ D^{ - 1} \cdot P^{ - 1} = P'^{ - 1} \\ D_B = P'^{ - 1} \cdot B \cdot P' \\ \end{array}[/tex]")
![[tex] P'^{ - 1} \cdot D_B \cdot P' = B \to [/tex]](images/latex/8daf1f3fde06abdc40f1c33093539dda67892570_0.png "[tex] P'^{ - 1} \cdot D_B \cdot P' = B \to [/tex]") B es diagonalizable.
Si en algun lado meti la pata, por favor corrijanme.
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"La paciencia es amarga, pero su fruto es dulce", J. J. Rousseau.
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