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consultas final de Analisis II
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Foros-FIUBA Foros » Académico » Materias » 61. Matemática » 61.03/81.01 Análisis Matemático II A » [61.03/81.01] Problemas y Ejercicios » consultas final de Analisis II

Autor

Mensaje

pedroz
Nivel 2

Registrado: 14 Ago 2009
Mensajes: 16

Carrera: Civil

Publicado: Dom Feb 20, 2011 9:14 am Asunto: (Sin Asunto)


Gracias Amadeo. Ahora entiendo la diferencia.

Marinchun
Nivel 8

Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525

Carrera: Mecánica y Naval

Publicado: Mie Feb 23, 2011 5:15 pm Asunto: (Sin Asunto)


Estuve leyendo pero no logro comprender ciertos conceptos. ¿¿¿Alguien me puede sugerir bibliografía "iluminadora" sobre Campos de Gradientes, Curvas Integrales, Líneas de Campo, Superficies/Curvas Equipotenciales, Ec. Diferenciales Exactas??? Porque cuanto más leo, más me confundo. Además de las definiciones respectivas, quiero saber cómo se calculan, si se relacionan unos conceptos con otros y cuándo pasa eso, qué pasa si le aplico alguno de los tres teoremas integrales, etc, etc. Porque tengo todos los conceptos muy por arriba y no me quiero equivocar. No es necesario que me den una clase de todo (bah, si quieren, no estaría nada mal ) sino recomiéndenme qué apuntes/fotocopias/libros tengo que leer. Gratcie PD: esto termina siendo una consulta de final de AMII ¿no?

matthaus
Nivel 9

Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953

Carrera: Industrial

Publicado: Mie Feb 23, 2011 5:36 pm Asunto: (Sin Asunto)


para eso leete el flax vol 2, un librito con ejercicios resueltos q venden en eudeba (o pedilo prestado)

loonatic
Nivel 9

Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256

Carrera: Sistemas
CARRERA.sistemas.3.jpg

Publicado: Mie Feb 23, 2011 5:45 pm Asunto: (Sin Asunto)


Campos de gradientes: es muy sencillo, si tenes un campo F de R^n a R, entonces el campo de gradientes es $[tex]\nabla[/tex]$ F Campo gradiente: Si tenes un campo F de R2 o R3 tal que su rotor es 0 (si F=(P,Q), rot(F)=Q'x-P'y) y el dominio de F es simplemente conexo (en el 99.9% de los casos te lo dan así) entonces el campo es un campo de gradientes, lo que quiere decir que F= $[tex]\nabla[/tex]$ $[tex]\phi[/tex]$ para alguna funcion $[tex]\phi[/tex]$ . Y si F es un campo gradiente, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: - F es conservativo - $[tex]\phi[/tex]$ es la funcion potencial de F - La integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final de C - La integral de linea de F sobre una curva CERRADA es cero Lineas de campo: son lineas que nos ayudan a visualizar el campo F, y tienen la propiedad de que en cada punto de estas lineas la tangente va en direccion al campo F. Se obtienen planteando dx/F1 = dy/F2. Linea equipotencial: si F es de R2 y F tiene una funcion potencial $[tex]\phi[/tex]$ entonces las lineas equipotenciales son de la forma $[tex]\phi[/tex]$ = c. Bastante simple, no? Superficie equipotencial: es lo mismo que antes, solo que se aplica para campos de R3. Ec. diferencial exacta: su forma general es P dx + Q dy = 0, donde P y Q dependen de x e y. Si se satisface que Q'x=P'y entonces es diferencial exacta, si no se satisface se la puede transformar a este tipo. Y para resolverla hay que tomar el campo dado por F=(P,Q) y hallar su funcion potencial (tiene sentido, no?) $[tex]\phi[/tex]$ , y la solucion será $[tex]\phi[/tex]$ = c Yo te diria que la manera de relacionar estos conceptos es expresarlo en una oracion que mezcle todo... aver... "si el campo F tiene rotor nulo y su dominio es simplemente conexo, entonces F es el campo gradiente de una función $[tex]\phi[/tex]$ , con lo que la integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final!" Yo diria que mas que responder una duda de AM2 te acabo de resumir toda la materia en un par de parrafos jajaja. No sé que recomendarte para leer, yo creo que con esto es suficiente, seguí preguntando! EDIT: error de latex. EDIT 2: mandé cualquiera

Marinchun
Nivel 8

Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525

Carrera: Mecánica y Naval

Publicado: Mie Feb 23, 2011 6:18 pm Asunto: (Sin Asunto)

loonatic escribió:

Campos de gradientes: es muy sencillo, si tenes un campo F de R^n a R, entonces el campo de gradientes es $[tex]\nabla[/tex]$ F

Campo gradiente: Si tenes un campo F de R2 o R3 tal que su rotor es 0 (si F=(P,Q), rot(F)=Q'x-P'y) y el dominio de F es simplemente conexo (en el 99.9% de los casos te lo dan así) entonces el campo es un campo de gradientes, lo que quiere decir que F= $[tex]\nabla[/tex]$ $[tex]\phi[/tex]$ para alguna funcion $[tex]\phi[/tex]$ .
Y si F es un campo gradiente, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- F es conservativo
- $[tex]\phi[/tex]$ es la funcion potencial de F
- La integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final de C
- La integral de linea de F sobre una curva CERRADA es cero

Lineas de campo: son lineas que nos ayudan a visualizar el campo F, y tienen la propiedad de que en cada punto de estas lineas la tangente va en direccion al campo F. Se obtienen planteando dx/F1 = dy/F2.

Linea equipotencial: si F es de R2 y F tiene una funcion potencial $[tex]\phi[/tex]$ entonces las lineas equipotenciales son de la forma $[tex]\phi[/tex]$ = c. Bastante simple, no?

Superficie equipotencial: es lo mismo que antes, solo que se aplica para campos de R3.

Ec. diferencial exacta: su forma general es P dx + Q dy = 0, donde P y Q dependen de x e y. Si se satisface que Q'x=P'y entonces es diferencial exacta, si no se satisface se la puede transformar a este tipo. Y para resolverla hay que tomar el campo dado por F=(P,Q) y hallar su funcion potencial (tiene sentido, no?) $[tex]\phi[/tex]$ , y la solucion será $[tex]\phi[/tex]$ = c Smile

Yo te diria que la manera de relacionar estos conceptos es expresarlo en una oracion que mezcle todo... aver... "si el campo F tiene rotor nulo y su dominio es simplemente conexo, entonces F es el campo gradiente de una función $[tex]\phi[/tex]$ , con lo que la integral de linea de F sobre cualquier curva C depende solamente del punto inicial y final!"

Yo diria que mas que responder una duda de AM2 te acabo de resumir toda la materia en un par de parrafos jajaja.
No sé que recomendarte para leer, yo creo que con esto es suficiente, seguí preguntando!

EDIT: error de latex.
EDIT 2: mandé cualquiera

Genia

Ahora con esto voy a tratar de hacer un par de ejercicios y cualquier cosa, consulto Smile

Thanks!

liebe_ist
Nivel 4

Edad: 32
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85

Carrera: No especificada

Publicado: Mie Feb 23, 2011 6:28 pm Asunto: (Sin Asunto)


y como yapa: las lineas equipotenciales de un campo de gradiente F son trayectorias ortogonales a las lineas de campo de F.

koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Mie Feb 23, 2011 7:48 pm Asunto: (Sin Asunto)


Falta el método para calcular la familia de curvas ortogonales a otra. Es mas fácil con un ejemplo. La definición de curva ortogonal a otra es fácil e intuitiva (en R^2). La pendiente de la primer curva tiene que ser inversa en signo e inverso multiplicativo de la segunda (pensá en rotaciones de 90° en R2). Ejemplo clásico: hallar la familia de curvas ortogonales a la familia y de rectas que pasan por el origen. 1) y = cx 2) y' = c Ahora el truco es que esta última es una ecuación distinta de la primera por lo que es válido (y necesario para resolver) despejar "c" arriba y enchufarlo en (2): y = cx c = y/x En 2) y' = y/x Ahora le pedís esa definición de arriba a la pendiente: dy/dx = -1 / y' dy/dx = -1 / (y/x) = - x/y Hacés separación de variables: ydy = -xdx Resolvés y te queda (no te olvides de la constante de integración que es lo que hace que sea una familia de soluciones) la ecuación de todas las circunferencias centradas en el origen de radio "C". Gráficamente: Sacadas de acá

Fabricio
Nivel 8

Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Publicado: Lun Jul 04, 2011 5:56 pm Asunto: (Sin Asunto)

Bueno arranco con mis consultas Payaso

Ejercicio 6)c), guia VII (int. de linea) escribió:

Calculear la masa de un hilo metalico con densidad en cada punto igual al producto de las distancias desde el punto a los planos coorenados, si la forma del alambre coincide con la de la curva interseccion del cilindro $[tex]x^2+y^2=4[/tex]$ con el plano $[tex]z=2[/tex]$

Primero busque la curva interseccion de las 2 superficies (un cilindro con radio 2, y el plano z=2, ) y luego parametrize

$[tex]\sigma(t)=(2cos(t), 2sen(t), 2)[/tex]$
$[tex]\sigma'(t)=(-2sen(t),2cos(t),0)[/tex]$
$[tex]||\sigma'(t)||=2[/tex]$
con $[tex]2\pi \geq t \geq 0[/tex]$

La densidad seria $[tex]\delta (x,y,z)=|x.y.z|[/tex]$

Armo la integral

$[tex]m=\int_0 ^{2\pi} (2cos(t).2sen(t).2.2)dt[/tex]$
$[tex]m=16\int_0 ^{2\pi}(cos(t).sen(t))dt[/tex]$
reemplazo $[tex]u=sen(t)[/tex]$
$[tex]m=16.(sen(t)|_0 ^{2\pi})[/tex]$
$[tex]m=0[/tex]$

deberia dar cero la masa?? Jajaja

Y un ejemplo del Tromba que no entiendo, dicen:

Cita:

Evaluar $[tex]\int\int_S z^2.ds[/tex]$ donde S es la esfera unidad $[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]$

Usa coordenadas esfericas, con $[tex]\pi \geq \phi\geq 0[/tex]$ y $[tex]2\pi \geq \theta\geq 0[/tex]$
$[tex]\int\int_S z^2.dS= \int\int_D (cos( \phi)^2. ||T_{\theta}\times{}T_{\phi}||).d\theta.d\phi[/tex]$

Despues de esto simplemente reempazo en la ultima expresion $[tex]||T_{\theta}\times{}T_{\phi}||[/tex]$ pero no metieron el jacobiano por el cambio de variables a esfericas, no se si hay algo conceptual que no entienda pero, porque no se uso el valor absoluto del jacobiano en este caso??

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Jackson666
Nivel 9

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Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Publicado: Lun Jul 04, 2011 7:04 pm Asunto: (Sin Asunto)


Lo interesante es que hay que calculEar! En el primero lo que tenes que integrar es $[tex]\oint_{\mathcal{C}}{\delta \left( \sigma(t) \right) \cdot \|\|\sigma'(t)\|\| dt}[/tex]$ . Fijate que vos mismo pusiste un módulo, pero en la integral mágicamente lo sacaste. Respecto al otro, el Jacobiano viene implícito en el producto vectorial. Saludos.

Fabricio
Nivel 8

Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Publicado: Lun Jul 04, 2011 8:06 pm Asunto: (Sin Asunto)

Jackson666 escribió:

Lo interesante es que hay que calculEar!

Jackson666 escribió:

En el primero lo que tenes que integrar es $[tex]\oint_{\mathcal{C}}{\delta \left( \sigma(t) \right) \cdot ||\sigma'(t)|| dt}[/tex]$ . Fijate que vos mismo pusiste un módulo, pero en la integral mágicamente lo sacaste.

No entendi bien aca, osea, vos decis que tengo que abrir el modulo y hacer la integral para $[tex](xyz)[/tex]$ y otra integral para $[tex]-(xyz)[/tex]$ ?

Jackson666 escribió:

Respecto al otro, el Jacobiano viene implícito en el producto vectorial.

Buen dato, no lo sabia, gracias loco Very Happy

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Fabricio
Nivel 8

Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Publicado: Jue Jul 14, 2011 12:43 am Asunto: (Sin Asunto)

Bueno hago otra consulta, es un ejercicio de final

Dice lo siguiente:

Cita:

Calcular el volumen del cuerpo definido por

$[tex]x^2+y^2+z^2 \leq 4[/tex]$
$[tex]x^2+y^2 \geq 2x [/tex]$
$[tex]y \leq x [/tex]$
en el primer cuadrante

Primero en la 2da superficie complete cuadrados y quedo

$[tex] (x-1)^2+y^2 \geq 1[/tex]$

Grafique eso, proyectando sobre el plano xy (lamentablemente en R3 soy horrible graficando jaja) y quedo asi:

(le pifie al dibujo de la derecha y quedo diferente pero bueno, dividi en 2 regiones simples pero sin ningun uso porque termine parametrizando en cilindricas)

utilice coordenadas cilindricas, quedando los limites de integracion asi:

$[tex] \frac{\pi }{4}\geq \theta \geq 0 [/tex]$
$[tex] 2 \geq \rho \geq \sqrt{2}[/tex]$
$[tex] \sqrt {4-x^2-y^2} \geq z \geq 0 \rightarrow \sqrt {4- \rho^2}\geq z \geq 0 [/tex]$

plantee la integral triple

$[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4}\int_{\sqrt{2}}^2\int_0^{\sqrt{4- \rho^2}} (\rho ) dz.d \rho. d \theta=\int_0^\frac{\pi }{4}\int_{\sqrt{2}}^2 \rho \sqrt{4- \rho^2} d \rho d \theta[/tex]$

reemplaze
$[tex]u= 4- \rho^2[/tex]$
$[tex]du=-2 \rho d\rho[/tex]$
$[tex]d\rho=\frac{u}{-2\rho}[/tex]$
y cambie los limites por la sustitucion
para $[tex]\rho =2[/tex]$ , $[tex] u=0 [/tex]$
para $[tex]\rho =\sqrt{2}[/tex]$ , $[tex] u=2 [/tex]$

$[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}\int_2^0 u^{\frac{1}{2}}dud \theta=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|_2^0)d \theta=\int_0^\frac{\pi }{4} -\frac{1}{2}(-\frac{2}{3}(2\sqrt{2}))d \theta[/tex]$
$[tex]V=\int_0^\frac{\pi }{4}\frac{2}{3}\sqrt{2}d \theta=\frac{2}{3}\sqrt{2}\theta|_0^\frac{\pi }{2}=\frac{\pi\sqrt{2} }{6}[/tex]$

El resultado aparentemente no es ese y no se cual es mi error, se agradece alguna ayuda Very Happy

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Matts
Nivel 9

Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054

Carrera: Industrial y Química

Publicado: Jue Jul 14, 2011 1:16 am Asunto: (Sin Asunto)


Yo la aprobe como hace 1 año por lo tanto no me acuerdo de casi nada... pero Ro no tendria que depender del angulo? Edito: Haciendo algunas cuentas, me quedo que 2.cos(tita) <= Ro <= 2. Ro tiene que ser menor o igual a 2 y mayor o igual a ese fragmento de circunferencia en el angulo que sea. Eso que pusiste vos (entre raiz de 2 y 2) es para el caso particular en que tita= 0,25pi (o algo asi). Z esta bien como lo despejaste... Creo que es asi... no se, que me corrija alguien que estoy agarrando esto despues de 1 año

Fabricio
Nivel 8

Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Publicado: Jue Jul 14, 2011 1:54 am Asunto: (Sin Asunto)

Matts escribió:

Yo la aprobe como hace 1 año por lo tanto no me acuerdo de casi nada... pero Ro no tendria que depender del angulo?

Edito:
Haciendo algunas cuentas, me quedo que 2.cos(tita) <= Ro <= 2.
Ro tiene que ser menor o igual a 2 y mayor o igual a ese fragmento de circunferencia en el angulo que sea. Eso que pusiste vos (entre raiz de 2 y 2) es para el caso particular en que tita= 0,25pi (o algo asi).
Z esta bien como lo despejaste...

Creo que es asi... no se, que me corrija alguien que estoy agarrando esto despues de 1 año

Joya, es verdad que tenia que depender del angulo, no sabia de donde salia primero pero termine pasando a polares la circunferencia mas chica y salio

Gracias Matts Very Happy

_________________
$[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]$

Fabricio
Nivel 8

Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Publicado: Lun Jul 18, 2011 9:06 pm Asunto: (Sin Asunto)


Hago una consulta del ejercicio 14 de la guia de teoremas: Dado $[tex]\bar{f}(x,y,z)=(xg(x)+h(y),g(y)+yg(z)+2xy,zh(y)+y^2h(z))[/tex]$ determinar la expresion de $[tex]\bar{f}[/tex]$ sabiendo que es un campo de fuerzas conservativo y que $[tex]\bar{f}(0)=(0,1,0)[/tex]$ , ¿Qué hipotesis utiliza para g y h? Dado que $[tex]\bar{f}[/tex]$ es un campo conservativo, se cumple que es irrotacional, entonces $[tex]rot(\bar{f})=\nabla \times{}\bar{f}= 0[/tex]$ Hice el producto vectorial $[tex](\frac{{\partial }}{{\partial x}},\frac{{\partial }}{{\partial y}},\frac{{\partial }}{{\partial z}})\times{}(xg(x)+h(y),g(y)+yg(z)+2xy,zh(y)+y^2h(z))=\bar{0}[/tex]$ $[tex](zh'(y)+2yh(z)-yg'(z),0,2y-h'(y))=(0,0,0)[/tex]$ igualando componente a componente de la ultima sale que $[tex]2y-h'(y)=0[/tex]$ $[tex]2y=h'(y)[/tex]$ $[tex]2y.\partial y=\partial h[/tex]$ $[tex]\int 2y \partial y=\int \partial h[/tex]$ $[tex]y^2+ \varphi(z)=h[/tex]$ Hasta aca creo que todo barbaro, pero despues como hago para encontrar h(z)??? en la guia resuelta lo suponen como $[tex]h(z)=z^2+C[/tex]$ y no entiendo por que

_________________
$[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]$

Jackson666
Nivel 9

Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
CARRERA.electrica.3.jpg

Publicado: Mar Jul 19, 2011 1:06 pm Asunto: (Sin Asunto)


Deja la grapa antes de agarrar la guía de análisis, porque te está pegando fiero pa. Si tenes $[tex]h(y) = y^{2} + C[/tex]$ (pusiste una función de z que no va por cierto) cambia donde diga "y" por "z" y tenes $[tex]h(z)[/tex]$ . El resto sale solo. Saludos.

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