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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| La superficie a través de la cual querés calcular el flujo de r es V menos el cacho del cono. Si en vez de eso, calculás el flujo a través de toda la superficie que limita al volúmen V, tenés que la divergencia de r es 3, o sea el flujo es 3 veces el volúmen de V, y eso es el flujo a través del cacho de paraboloide que te piden, y a través del pedazo de cono. Pero el vector posición es normal a la normal a la superficie del cono en todo punto, entonces el flujo es 0.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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El vector posicion es el r=(x,y,z).
Busco el vector normal a la superficie del cono en todo punto definiendo una nueva funcion vectorial:
[tex] G(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 [\tex]
tal que el gradiente de dicha funcion va a ser el vector normal:
[tex] \bigtriangledownG=(2x,2y,-2z)=N [/tex]
Entonces para que los 2 vectores sean normales entre si tienen que ser ortogonales pero al plantear el producto escalar no me da cero:
![[tex]r.N=(x,y,z).(2x,2y,-2z)=2(x^2+y^2-z^2)[/tex]](images/latex/4707caf03b5f5b9fc779428cc50ac0285c775679_0.png "[tex]r.N=(x,y,z).(2x,2y,-2z)=2(x^2+y^2-z^2)[/tex]")
aca me perdi
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Es que está bien lo que hacés, como z=sqrt(x^2+y^2), ese producto escalar da 0.
Fijate si con este dibujito lo entendés, sobre la superficie del cono, r es tangente a la superficie. Sería la traza del cono en el plano zx
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![[tex]f(x,y)=2-(x-1)^2-y^2[/tex]](images/latex/3c581900167ece0ef9d50be8afd45412aa3f7834_0.png "[tex]f(x,y)=2-(x-1)^2-y^2[/tex]")
una funcion, de manera que ![[tex]\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq f(x,y)[/tex]](images/latex/1897107ca57df7ae8125fe62a6f8371ee499a369_0.png "[tex]\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq f(x,y)[/tex]")
define un cuerpo V en ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]")
. Demostrar que el volumen del cuerpo V es la tercera parte del valor del flujo del vector posicion ![[tex]r=(x,y,z)[/tex]](images/latex/6632bc0ee5f7197dd931d83b75d25943f7acbb4d_0.png "[tex]r=(x,y,z)[/tex]")
a traves de la superficie grafica de f(x,y) con ![[tex]\sqrt{x^2+y^2}\leq f(x,y)[/tex]](images/latex/843dd85b9829952bcb98e16e017d42a01caa5b99_0.png "[tex]\sqrt{x^2+y^2}\leq f(x,y)[/tex]")
![[tex] r:R^3 \longrightarrow R^3 [/tex]](images/latex/c60b9c00c30244bc16510cf62c0d160ab8da1f3b_0.png "[tex] r:R^3 \longrightarrow R^3 [/tex]")
tal que ![[tex]r(x,y,z)=(x,y,z) [/tex]](images/latex/9f6c348ce370121b59b0b067406a9aac66616340_0.png "[tex]r(x,y,z)=(x,y,z) [/tex]")
puedo decir que las componentes de este campo vectorial admiten derivadas parciales continuas en ![[tex]Div (r)=1+1+1=3 [/tex]](images/latex/b7648b312971e6ff9d30beefb79516bacc3ea2e1_0.png "[tex]Div (r)=1+1+1=3 [/tex]")
![[tex] \int\int\int Div(r) dV=\int\int r.N da [/tex]](images/latex/9e2a3daf9a505493fda97bedec35d9590b79a550_0.png "[tex] \int\int\int Div(r) dV=\int\int r.N da [/tex]")
![[tex] \int \int \int 3 dV=\int \int r.N da (S1) + \int \int r.N da (S2) [/tex]](images/latex/402326c54ac49c8b00d21808720942dbb81da5cd_0.png "[tex] \int \int \int 3 dV=\int \int r.N da (S1) + \int \int r.N da (S2) [/tex]")
![[tex] z=\sqrt{x^2+y^2} [/tex]](images/latex/866816e61de05e97d3564ee0cec98e3f53fe9aa9_0.png "[tex] z=\sqrt{x^2+y^2} [/tex]")
parametrizo utilizando coordenadas polares:
![[tex]\phi(\theta,\rho)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,\rho)[/tex]](images/latex/5fccf38ec3a209c10f5ebae9b4fa1541cb9df97d_0.png "[tex]\phi(\theta,\rho)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,\rho)[/tex]")
![[tex]N=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,-\rho) con 0\leq\theta\leq2\pi [/tex]](images/latex/28d773d6c4bbcd583cadd306c26a394a4253fd4a_0.png "[tex]N=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,-\rho) con 0\leq\theta\leq2\pi [/tex]")
![[tex]\rho[/tex]](images/latex/c301c1d4f4791a621a06a6abf5582a926251b8d4_0.png "[tex]\rho[/tex]")
proyecto sobre el plano xy (z=0) y obtengo una circunferencia de centro (1,0) y radio 2. Aca me surgen algunas dudas:
^2+y^2=2[/tex]](images/latex/72645745251795f1dd7f24cf90d469a57e005443_0.png "[tex](x-1)^2+y^2=2[/tex]")
^2+(\rho\sin\theta)^2=2[/tex]](images/latex/b6e337d360a699b203418e5a0e1d725bd4210c9a_0.png "[tex](\rho\cos\theta-1)^2+(\rho\sin\theta)^2=2[/tex]")
^2=1+2\rho\cos\theta[/tex]](images/latex/06552e64b0ab1d92ad7e27d9478046ae646c0d02_0.png "[tex](\rho)^2=1+2\rho\cos\theta[/tex]")