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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
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Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Buenas!
La consulta es sobre la resolución de este ejercicio (coloquio del 18/02/2010). Fíjense si hay alguna boludez escrita (muy probable) y si lo que escribo al final esta ok.
Enunciado:
Resolver mediante la transformada de laplace:
![[tex] y''(t)-2y'(t)+5y(t)=f(t) [/tex]](images/latex/57bbe5be03a3946f8cf7b52e0b1eb1387e49973a_0.png "[tex] y''(t)-2y'(t)+5y(t)=f(t) [/tex]") siendo:
![[tex] f(t) = \left\{ \begin{array}{ll}e^t & 0 \le t \le 1\\\ 0 & t > 1\ \\ \end{array} \right. [/tex]](images/latex/4ea3a0e0fb4aa2f8c174f769e593a75211fd1ecd_0.png "[tex] f(t) = \left\{ \begin{array}{ll}e^t & 0 \le t \le 1\\\ 0 & t > 1\ \\ \end{array} \right. [/tex]")
Con condiciones iniciales nulas en ![[tex]t=0[/tex]](images/latex/26cc3b854a7ffec0356f08d0f2dea9e0937834e9_0.png "[tex]t=0[/tex]")
Resolución:
1. Aplico TL a ambos miembros de la ecuación. Uso linealidad y llego a la expresión de la transformada de la función ![[tex]y(t)[/tex]](images/latex/cf764983439da415881fe9791883d7ad9ef455c6_0.png "[tex]y(t)[/tex]") buscada.
![[tex] L[y''(t)] - 2L[y'(t)] + 5L[y(t)] = L[f(t)] [/tex]](images/latex/da2ccc6d196be6ad9f03530f6cd49bb4df3c3bf5_0.png "[tex] L[y''(t)] - 2L[y'(t)] + 5L[y(t)] = L[f(t)] [/tex]")
Aplico propiedades de la TL para las derivadas y uso la hipótesis de condiciones iniciales nulas en ![[tex]y=0[/tex]](images/latex/9671b51013841d9048e911bf02bf1ae6b965a342_0.png "[tex]y=0[/tex]")
(Nota: ![[tex]Y(s)=L[y(t)][/tex]](images/latex/bb258bec6be28b4bacdb8d38f6f209092de1c65d_0.png "[tex]Y(s)=L[y(t)][/tex]") y ![[tex]F(s)=L[f(t)][/tex]](images/latex/c07b0bc0ad2b2e4808ccc3de8776aac01b11a82d_0.png "[tex]F(s)=L[f(t)][/tex]") )
![[tex] s^2Y(s)-y(0)-y'(0)-2sY(s)-y(0)+5Y(s) = F(s)[/tex]](images/latex/6d544efc9e2265c7969ab561455a1b6e157a0a4a_0.png "[tex] s^2Y(s)-y(0)-y'(0)-2sY(s)-y(0)+5Y(s) = F(s)[/tex]")
![[tex] s^2Y(s)-2sY(s)+5Y(s) = F(s)[/tex]](images/latex/7f5287c1a92c0c310623b9082e3f5a516065b1e3_0.png "[tex] s^2Y(s)-2sY(s)+5Y(s) = F(s)[/tex]")
![[tex] Y(s) = \frac {F(s)}{s^2-2s+5}[/tex]](images/latex/aac59e47205eea8d050e670eee6bb855753fe5be_0.png "[tex] Y(s) = \frac {F(s)}{s^2-2s+5}[/tex]")
2. Hallo ![[tex] F(s)=L[f(t)] [/tex]](images/latex/d2eb936cd232bb634f5b71a1ef9655011be7a2b4_0.png "[tex] F(s)=L[f(t)] [/tex]")
Expreso ![[tex] f(t) [/tex]](images/latex/3efdd4dafaaec70a4ab3e68dc01f2ea597ba9c6d_0.png "[tex] f(t) [/tex]") mediante la funcion escalón unitario:
![[tex]f(t)=e^t(H(t)-H(t-1))[/tex]](images/latex/c56f475b1e20fed25b340946ac358a73b5dfe2fd_0.png "[tex]f(t)=e^t(H(t)-H(t-1))[/tex]")
![[tex]L[f(t)]=L[e^t(H(t)-H(t-1))]=L[e^tH(t)] - L[e^tH(t-1)][/tex]](images/latex/8445650a293069521e376bd994ef0d2dbaa254fd_0.png "[tex]L[f(t)]=L[e^t(H(t)-H(t-1))]=L[e^tH(t)] - L[e^tH(t-1)][/tex]")
Por un lado
![[tex]L[e^tH(t)]= \frac {1}{s-1}[/tex]](images/latex/7f642a7924decdf65fb95c3b3a42c4a7cf64488a_0.png "[tex]L[e^tH(t)]= \frac {1}{s-1}[/tex]")
Y por el otro: (2do teorema de traslación ( ![[tex] L[f(t)H(t-a)]=e^{-as}L[f(t+a)] [/tex]](images/latex/4ed4e56e621e96e2c8e264e45e390e5dbc093798_0.png "[tex] L[f(t)H(t-a)]=e^{-as}L[f(t+a)] [/tex]") )
![[tex] L[e^tH(t-1)]=e^{-s}L[e^{t+1}]=\frac {e^{1-s}}{s-1} [/tex]](images/latex/8463f38fba597d7104a97a0bb03997024e72aa9a_0.png "[tex] L[e^tH(t-1)]=e^{-s}L[e^{t+1}]=\frac {e^{1-s}}{s-1} [/tex]")
ya que ![[tex] L[e^{t+1}]=L[e^t.e^1]=e^1L[e^t][/tex]](images/latex/d977c7d7f79eb30bdf2827afa3b126a2b22a11cd_0.png "[tex] L[e^{t+1}]=L[e^t.e^1]=e^1L[e^t][/tex]")
Entonces,
![[tex]F(s)=\frac {1}{s-1} - \frac {e^{1-s}}{s-1}=\frac{1-e^{1-s}}{s-1}[/tex]](images/latex/6a7803697768feecdf9419f1ef256547c7d8f5ff_0.png "[tex]F(s)=\frac {1}{s-1} - \frac {e^{1-s}}{s-1}=\frac{1-e^{1-s}}{s-1}[/tex]")
3. Antitransformo Y(s)
![[tex] Y(s) = \frac {1-e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)} = \frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)} - \frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]](images/latex/7fb9282898e0031f8c8fab42a2746885a3300ae4_0.png "[tex] Y(s) = \frac {1-e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)} = \frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)} - \frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]")
3.1 Separo el desarrollo en 2:
![[tex]Y_1(s)=\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]](images/latex/3d02fbb65a3b23e15ab2c52ee8752f36b9e94075_0.png "[tex]Y_1(s)=\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]")
![[tex]Y_2(s)=\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]](images/latex/fddfd5a082161b043edddbf83dc3edfa970d844a_0.png "[tex]Y_2(s)=\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]")
3.2 Hallo ![[tex]y_1(t)[/tex]](images/latex/84994940fdf827931910b653ce4e04c6febf10fd_0.png "[tex]y_1(t)[/tex]")
Fracciones simples: ![[tex]\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}=\frac{As+B}{(s^2-2s+5)} + \frac{C}{s-1}[/tex]](images/latex/47728312c48a80b25abc3ff48d3383dfdac06b2a_0.png "[tex]\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}=\frac{As+B}{(s^2-2s+5)} + \frac{C}{s-1}[/tex]")
3.2.1 Multiplico ambos miembros por s-1 y evalúo el límite de s tendiendo a 1, de donde sale que ![[tex]C=1/4[/tex]](images/latex/16775c265c58bd983cfb944fd744b3150bb372c9_0.png "[tex]C=1/4[/tex]")
3.2.2 Con el valor de C hallado, doy valores a s y hallo A y B (Con s=0, ![[tex]B=1/4[/tex]](images/latex/d90f0c6ebd341887f5f1be7bbb319117f7632b18_0.png "[tex]B=1/4[/tex]") y con s=2 ![[tex]A=-1/4[/tex]](images/latex/8fd723f32a7846df2d79749c46238be2894f2b83_0.png "[tex]A=-1/4[/tex]") )
![[tex] y_1(t)=L^{-1}[\frac{-s/4 + 1/4}{s^2-2s+5}] + L^{-1}[\frac{1/4}{s-1}] = -1/4L^{-1}[\frac{s-1}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{1}{s-1}][/tex]](images/latex/cfc6e9312a10ed6ad640ea76d85d37a5bf7d7875_0.png "[tex] y_1(t)=L^{-1}[\frac{-s/4 + 1/4}{s^2-2s+5}] + L^{-1}[\frac{1/4}{s-1}] = -1/4L^{-1}[\frac{s-1}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{1}{s-1}][/tex]")
Entonces,
![[tex]y_1(t)=-1/4 \cos(2t).e^t + 1/4.e^t=\frac{e^t}{4}(1-\cos(2t))[/tex]](images/latex/eeac505ba87cec826c5648aa83657224155531dc_0.png "[tex]y_1(t)=-1/4 \cos(2t).e^t + 1/4.e^t=\frac{e^t}{4}(1-\cos(2t))[/tex]")
3.3 Hallo ![[tex]y_2(t)[/tex]](images/latex/aa7000b51eff57a1c8be5bca1feff1b3a7f5cf94_0.png "[tex]y_2(t)[/tex]")
![[tex]y_2(t)=L^{-1}[\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}]=eL^{-1}[\frac {e^{-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}][/tex]](images/latex/4519f3fe83dcd41ea18dca2dcf7f727c35573506_0.png "[tex]y_2(t)=L^{-1}[\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}]=eL^{-1}[\frac {e^{-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}][/tex]")
Acá es donde dudo que ésto este bien: (Uso la misma descomposición en fracciones simples que antes y multiplico por ![[tex]e^{-s}[/tex]](images/latex/f82353b86adea1ba57edcd45c01f1697aab645cd_0.png "[tex]e^{-s}[/tex]") :
![[tex] y_2(t)=e[-1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}(s-1)}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}}{s-1}]][/tex]](images/latex/f9f6a309bb2bcf8e1dcde7acfb58d4b8fc82ab1a_0.png "[tex] y_2(t)=e[-1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}(s-1)}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}}{s-1}]][/tex]")
En donde aplicando la inversa del 2do teorema de traslación llego a que:
![[tex] y_2(t)=e[\frac{-e^{t}}{4}\cos(2t)H(t-1) + \frac{e^{t}}{4}H(t-1)]=e[\frac{e^{t}}{4}H(t-1)(1-\cos(2t))][/tex]](images/latex/9038809df8db435ce38cc9341f445049e168ca96_0.png "[tex] y_2(t)=e[\frac{-e^{t}}{4}\cos(2t)H(t-1) + \frac{e^{t}}{4}H(t-1)]=e[\frac{e^{t}}{4}H(t-1)(1-\cos(2t))][/tex]")
Finalmente:
![[tex]y(t)=\frac{e^t}{4}[(1-\cos(2t))H(t) + e(\cos(2t)-1)H(t-1)][/tex]](images/latex/aacf574ea30f969738ff5c14301a3bd9148ee2f4_0.png "[tex]y(t)=\frac{e^t}{4}[(1-\cos(2t))H(t) + e(\cos(2t)-1)H(t-1)][/tex]")
Que les parece?
Gracias y perdón por tanta ecuación 
Saludos!!
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Seba.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
![[tex]L(f(t-a)H(t-a))=e^{-a s} F(s)[/tex]](images/latex/4a799569dc50508c3f48cd2e182583c763cc5421_0.png "[tex]L(f(t-a)H(t-a))=e^{-a s} F(s)[/tex]")
O sea, tenés que escribir ![[tex]e^t[/tex]](images/latex/dce4feb274664f1392b78bb470ea9c502ede67f9_0.png "[tex]e^t[/tex]") como ![[tex] e^{t-1+1}=e*e^{t-1} [/tex]](images/latex/6d1e6ea865423fc1ad60b36a2c236c5a28322820_0.png "[tex] e^{t-1+1}=e*e^{t-1} [/tex]")
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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| df escribió:
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Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
O sea, tenés que escribir como
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Claro, lo que puse lo saqué del Zill 6ta edición como la "forma alternativa" del 2do teorema de traslación (Capítulo 7, página 319)
Ya que yo no dispongo de la forma ![[tex] L[f(t-a)H(t-a)][/tex]](images/latex/26fd11a1502ed2ab127976c2cffd923dcbbb5ea4_0.png "[tex] L[f(t-a)H(t-a)][/tex]") sino de ![[tex] L[f(t)H(t-a)][/tex]](images/latex/158d93c31bcbc5cd64d5f0caf8a37f1199dc5062_0.png "[tex] L[f(t)H(t-a)][/tex]")
Ahora reviso si daría lo mismo
gracias!
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Seba.
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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| Sebacuervo escribió:
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| df escribió:
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Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
O sea, tenés que escribir como
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Claro, lo que puse lo saqué del Zill 6ta edición como la "forma alternativa" del 2do teorema de traslación (Capítulo 7, página 319)
Ya que yo no dispongo de la forma sino de
Ahora reviso si daría lo mismo
gracias!
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Efectivamente, estaba mal (hay una "u" en esa "Forma alternativa que es u=t-a)
De todas formas, sigo obteniendo lo mismo:
![[tex] L[e^tH(t-1)]=L[e^{t-1+1}H(t-1)]=L[e^{t-1}e^{1}H(t-1)]=eL[e^{t-1}H(t-1)]=e\frac{e^{-s}}{s-1}=\frac{e^{1-s}}{s-1}[/tex]](images/latex/8278f9e9855e51b7edacf7488cd37b091ad1c3b0_0.png "[tex] L[e^tH(t-1)]=L[e^{t-1+1}H(t-1)]=L[e^{t-1}e^{1}H(t-1)]=eL[e^{t-1}H(t-1)]=e\frac{e^{-s}}{s-1}=\frac{e^{1-s}}{s-1}[/tex]")
Acabo de probarlo en el mathematica y da lo mismo:
| Código:
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LaplaceTransform[Exp[t] HeavisideTheta[t - 1], t, s]
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gracias!
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Seba.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Ahí me fije, es lo mismo. Para mi está bien. Si lo que te trae duda es la antitransformada de la cosa esa que tiene e^-s, llamá a eso e^-s F(s). Si f(t) es tal que L(f(t))=F(s) entonces la antitransformada de e^-s F(s) es f(t-1)H(t-1), como el coso ese ya lo antitransformaste, ya lo tenés. No lo se hacer con el Mathematica, nunca me puse a entenderlo bien del todo (como darle condiciones de contorno a una EDO y todo eso), pero según el wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%28t%29-2y%27%28t%29%2B5y%28t%29%3De^t+%28H%28t%29-H%28t-1%29%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D0
es el choclo ese que debería reducirse a lo que pusiste.
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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| df escribió:
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Ahí me fije, es lo mismo. Para mi está bien. Si lo que te trae duda es la antitransformada de la cosa esa que tiene e^-s, llamá a eso e^-s F(s). Si f(t) es tal que L(f(t))=F(s) entonces la antitransformada de e^-s F(s) es f(t-1)H(t-1), como el coso ese ya lo antitransformaste, ya lo tenés. No lo se hacer con el Mathematica, nunca me puse a entenderlo bien del todo (como darle condiciones de contorno a una EDO y todo eso), pero según el wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%28t%29-2y%27%28t%29%2B5y%28t%29%3De^t+%28H%28t%29-H%28t-1%29%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D0
es el choclo ese que debería reducirse a lo que pusiste.
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Si, sería aplicar la inversa del 2do teorema de traslación... eso es lo que quise hacer pero no se si lo hice bien jeje gracias capo!
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Seba.
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