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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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| Hola, podrían por favor expliocarme el ej 2? gracias
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Tomo este enunciado de acá:
| -Val- escribió:
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Enunciados tema 1:
2) Sea ![[tex]F(x,y)=(y^2+g(y), xg'(y))[/tex]](images/latex/6fbb8d9322f174b53c103c8e0e99936719e9285f_0.png "[tex]F(x,y)=(y^2+g(y), xg'(y))[/tex]") , con ![[tex]g:R\rightarrow R[/tex]](images/latex/b5003dc10e4e705995fc4e624b23c737929e43ab_0.png "[tex]g:R\rightarrow R[/tex]") una función ![[tex]C^2(R)[/tex]](images/latex/dddd2c826d3d03d6eb715d8cc3bdbbc6f1af6eec_0.png "[tex]C^2(R)[/tex]") . Sea C el arco de curva de ecuación ![[tex]y=2\sqrt{4-x^2}[/tex]](images/latex/608f24258c9041fe931a7bc536ad5e1325e16d6e_0.png "[tex]y=2\sqrt{4-x^2}[/tex]") recorrido desde el punto (-2,0) hasta el punto (2,0). Hallar el valor de ![[tex]F(0,0)[/tex]](images/latex/f28c90d77f6bdcd699cc424c95a36cab689db890_0.png "[tex]F(0,0)[/tex]") para que la circulación del campo F sobre C sea igual a 12
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Tenemos C, una curva abierta en el plano. Tenemos el campo F(x,y) contaminado por un g(y) que no conocemos, pero sabemos que es ; luego, F(x,y), cuyas componentes son sumas de funciones ![[tex]C^1(R^2)[/tex]](images/latex/49b010d3b55a7e728ae104ec555e8873f39f2db2_0.png "[tex]C^1(R^2)[/tex]") (porque aparece la derivada de g(y)) es , que es un abierto simplemente conexo, y tu curva está contenida en ![[tex]R^2[/tex]](images/latex/f572ed46ab129eee7bf8dfc7f64111020de1fcfc_0.png "[tex]R^2[/tex]") . Entonces, si cerramos la curva C con una curva C', estamos en condiciones de utilizar el teorema de Green por todo lo que dijimos antes:
Podés plantear que la circulación de F(x,y) sobre la curva cerrada [C+C'] recorrida en sentido positivo es igual a la integral de superficie de d[xg'(y)]/dx-d[y^2+g(y)]/dy en la superficie encerrada por esa curva.
Podemos despejar de acá lo que nos interesa: La circulación de F sobre C va a ser igual a la integral de superficie menos la circulación de F sobre C'. Eso es lo que queremos que sea igual a 12.
Fijate que mágicamente cuando ves el argumento de la integral te queda solamente -2y, es decir, independiente de g.
Ahora, lo que deberías hacer es pensar cuál es la curva C' más conveniente para cerrar a C. Yo te diría que el segmento recto que une a los puntos inicial y final de la curva. Fijate que ahí, x varía entre -2 y 2 e y vale 0 siempre. Así que por ahí tenemos dando vuelta F(0,0), que es lo que queremos hallar.
A partir de acá seguí vos que a mí me da fiaca hacer las cuentas, aparte de que estoy medio oxidado con esas cosas, pero creo que sale todo con eso.
Cualquier duda chiflá.
Saludos
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Elmo Lesto escribió:
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Podés plantear que la circulación de F(x,y) sobre la curva cerrada [C+C'] recorrida en sentido positivo es igual a la integral de superficie de d[xg'(y)]/dx-d[y^2+g(y)]/dy en la superficie encerrada por esa curva...
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No nos vayamos de ![[tex]\mathbf{R}^{2}[/tex]](images/latex/2bb889e1cc2b2e6662fbf143fc1e1ee8bd3ed3f0_0.png "[tex]\mathbf{R}^{2}[/tex]") mejor...
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Ah, sí, tenés razón! Le pifié fiero.
Integral doble!!!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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| Elmo Lesto escribió:
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Tomo este enunciado de acá:
| -Val- escribió:
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Enunciados tema 1:
2) Sea , con una función . Sea C el arco de curva de ecuación recorrido desde el punto (-2,0) hasta el punto (2,0). Hallar el valor de para que la circulación del campo F sobre C sea igual a 12
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Tenemos C, una curva abierta en el plano. Tenemos el campo F(x,y) contaminado por un g(y) que no conocemos, pero sabemos que es ; luego, F(x,y), cuyas componentes son sumas de funciones (porque aparece la derivada de g(y)) es , que es un abierto simplemente conexo, y tu curva está contenida en . Entonces, si cerramos la curva C con una curva C', estamos en condiciones de utilizar el teorema de Green por todo lo que dijimos antes:
Podés plantear que la circulación de F(x,y) sobre la curva cerrada [C+C'] recorrida en sentido positivo es igual a la integral de superficie de d[xg'(y)]/dx-d[y^2+g(y)]/dy en la superficie encerrada por esa curva.
Podemos despejar de acá lo que nos interesa: La circulación de F sobre C va a ser igual a la integral de superficie menos la circulación de F sobre C'. Eso es lo que queremos que sea igual a 12.
Fijate que mágicamente cuando ves el argumento de la integral te queda solamente -2y, es decir, independiente de g.
Ahora, lo que deberías hacer es pensar cuál es la curva C' más conveniente para cerrar a C. Yo te diría que el segmento recto que une a los puntos inicial y final de la curva. Fijate que ahí, x varía entre -2 y 2 e y vale 0 siempre. Así que por ahí tenemos dando vuelta F(0,0), que es lo que queremos hallar.
A partir de acá seguí vos que a mí me da fiaca hacer las cuentas, aparte de que estoy medio oxidado con esas cosas, pero creo que sale todo con eso.
Cualquier duda chiflá.
Saludos
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Gracias por tu explicación, pero todo esto ya lo tenía echo. Lo que no se es justamente como sacarme de encima es G(y), cuando integro la curva (x,0) no puedo seguir. O sea, no puedo terminar de integrarla porque nose que hacer con esa funcion desconocida.
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Vos cuando vas a calcular una circulación de un campo vectorial f(x,y) en una curva C, podés decir tu curva es imagen de una función vectorial γ(t), y si antes dentro de la integral tenías f.dl, ahora podés tener f(γ(t)).γ'(t)dt.
Una parametrización regular e inyectiva del segmento que va de -2 a 2 puede ser γ(t)=(t,0) con t entre (-2,2). Cuando vas a calcular f(γ(t)), todas las x valen t y todas las y valen 0. Cuando vas a calcular .γ'(t) te queda el vector (1,0).
Si no le pifié en las cuentas, lo único que te queda en esa integral al final de todo es g(0)dt entre -2 y 2. Como se ve, g(0) no depende de t, lo podrías sacar afuera de la integral inclusive, o poner directamente que eso es 4g(0).
Decime si te quedó claro, cualquier duda volvé a avisar.
Suerte
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pwagma
Nivel 3
Registrado: 17 Mar 2010
Mensajes: 45
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Claro tenes razón, mi error fue muy gil, al hacer F(y(t)). y'(t), con la curva (t,0), no remplace los y por el 0, de colgado y decia como mierda aparece el g(0)?????????? jajaj!!!!
gracias! salio perfecto ahora
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