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Mensaje |
kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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Es del 21/XII/09.
Es de la onda del que pregunté antes y en este estoy más perdido todavía.
Problema:
X variable aleatoria.
fn(x) = n*x^(n-1) 0<x<1 y n=2,3,4
En una muestra se observaron los siguientes valores: 0,59; 0,24; 0,37; 0,45; 0,68.
Hallar el estimador de máxima verosimilitud para la esperanza de X.
Resolución:
No se, estoy perdido jaja.
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Creo que te tenés que armar la función de verosimilitud L en función de tu parámetro desconocido, y luego maximizarla. Fijate que en el Maronna hay algo de eso. Si lo hacés, copate y postealo  . Vas a rendir este jueves?Yo creo que si, depende de como venga
Saludos
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Problemas con matemática? Llamá gratis al 0-800-3x²±sen(1/n³)∫∆ƒ dx
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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A ver... cuento lo que hice, pero puede que esté todo mal  .
Que conste que en varios momentos saqué la guitarra y me puse a dejar que el corazón simplemente se exprese (?).
Resulta que tenemos que X es una variable aleatoria con función densidad de probabilidad que pertenece a una cierta familia de densidades (que dependen del número n). En principio no le doy bola al valor de n.
Como me habla de estimar la esperanza de X, me pareció que tal vez servía para algo calcular la esperanza para estas densidades que dependen de n.
Si se hace la cuenta, queda que:
E[X] = Integral_de[ x . f(n) . dx] = ... cuentitas ... = n / (n+1)
O sea que el valor de la media de X depende del valor de n que se elija.
Si considero E[X] = mu, entonces:
mu = n / (n+1)
...despejando...
n = mu / (1-mu) (*)
O sea que, según entiendo de estas dos últimas ecuaciónes, una vez que determino n, paso a tener determinada la media.
Y, de hecho, como n solo puede tomar 3 valores, la media solo podrá tomar 3 valores (que se pueden calcular, aunque más no sea para pispear que pinta tienen las medias al variar n).
Ahora bien, hasta ahi llegamos con eso.
Ahora agarro para otro lado: me pongo a calcular la L(mu). El método es como siempre en estos casos: La productoria de las densidades "dado" el parámetro:
L(mu) = productoria_de_1_a_5_de[ f(x_i | mu ) ]
O sea que L(mu) está compuesta por el producto de 5 densidades, cada una con un valor de X (y claro; son los 5 valores "muestrales").
Pero en esa última ecuación que puse, dice "dado mu". O sea que asumo mu determinado (aunque desconocido).
Pero una vez que está determinado mu, queda determinado el n (por la ecuación (*) ).
Y si queda determinado el n, entonces queda determinada la función de densidad! (porque está determinado el n)
O sea que en la L(mu) voy a tener:
L(mu) = n . x1^(n-1) . n . x2^(n-1) . ... . n . x5^(n-1)
L(mu) = n^5 . x1^(n-1) . ... x5^(n-1)
Si se aplica logaritmo a ambos lados, queda algo tipo:
ln (L(mu)) = 5 ln(n) + (n-1) [ ln(x1) + ln(x2) + ... + ln(x5) ]
Pero, ahora (agarrensé porque acá viene uno de los momentos más vertiginosos y más propenso a ser un error grosero), puedo usar la relación (*) para reemplazar n por mu/(1-mu) 
Luego, obtengo:
ln ( L(mu) ) = (... lo mismo de arriba pero reemplazando n = mu / (1-mu) ...)
Luego, hay que derivar esta expresión para posteriormente igualar a cero.
Una vez hecho esto, se puede espejar mu.
Según las cuentas que hice yo, queda una expresión cuadrática donde la variable es mu. Pude sacar las raíces, y me da una en 0,3 y la otra en 1,6.
O sea que entre 0 y 1 (donde se encuentra definida la función de densidad) tenemos que pasa un cacho de la parábola que acabamos de hallar por el primer cuadrante.
Dentro de ese intervalo [0,1], la parábola alcanza el máximo en (aprox) 0,956.
Entonces el estimador por Máxima Verosimilutd de la media de X es 0,956!!(pues es el máximo, dentro del intervalo, y bla bla).
Y bueno... eso es lo que logré hacer =S
¿estará bien o mal?
Lo que no me gusta de lo que hice es que yo esperaba que la media (mu) me dependa del valor de n... y la verdad es que la volé a mitad de camino...
Por otra parte, testeando para distintos valores de n positivos, la media tiende a 1... o sea que no estaría tan mal (supongo) ese valor que obtuve.
De todos modos, me confunde que el enunciado solo "permita" 3 valores para n, y que esa información no la usé para nada.
En fin, se escuchan opiniones.
Saludos!
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alef4712
Nivel 3
Registrado: 09 May 2011
Mensajes: 40
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Hola que tal?..me tomo el atrevimiento y te respondo:
La idea es que primero calcules el valor esperado de x, ahi me parece que le pifiaste, porque a mi me da "n", entonces el problema se reduce a que encuentres el estimador maximoverosimil de n, usando el productorio y aplicando ln para pasarlo a sumas me queda algo asi:
L= 5*ln(n) + (n-1) suma ln(x)
donde la suma es de 1 a 5.
Maximizando con respecto a n:
5/n + suma ln(x) = 0
despejo n y me queda:
n = (-5) / ( suma ln(x))
y ahi aplicas la muestra de los valores y listo!!...
Perdon que no sepa usar el Latex pero soy muyy nuevo en esto.
Avisame si no se entendio porque lo resumi bastante...
saludos!!
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alef4712
Nivel 3
Registrado: 09 May 2011
Mensajes: 40
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| Ahh soy un bobo me equivoque en la esperanza!!..tenias razon, pero bueno entonces la idea es la misma, nada mas que cuando econtras el estimador de "n" lo reemplazas en el valor esperado y listo!!..mil disculpas!
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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| alef4712 escribió:
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Ahh soy un bobo me equivoque en la esperanza!!..tenias razon, pero bueno entonces la idea es la misma, nada mas que cuando econtras el estimador de "n" lo reemplazas en el valor esperado y listo!!..mil disculpas!
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Jaja, no problem.
Pero entonces... ¿lo que hice está bien?
Porque si bien el orden en que hicimos las cosas es al revés, debería dar lo mismo (supongo).
O sea, vos primero estimás n, y con eso reemplazás en la expresión de la esperanza.
Yo primero calclué la esperanza, y con eso reemplacé en la expresión de MV.
Es lo mismo creo yo...
Por cierto: ¿Y dónde se usa que n=2,3,4?
O si no: ¿dónde influye ese resultado?.
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kohoutek
Nivel 9
Registrado: 12 Mar 2009
Mensajes: 1112
Carrera: No especificada
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Uh, graciela por las respuestas, ahora tengo que comparar con lo que yo hice.
De paso pueden ir visitando el nuevo tópico con mis nuevas dudas jaja.
Saludos.
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