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dead1327
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 11
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SI ME PUEDEN AYUDAR CON ESTA DUDA QUE NO TENGO NI IDEA COMO HACERLO =).Gracias de antemano
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El jevi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 31 May 2010
Mensajes: 418
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática y Sistemas
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| Nunca ví esto. Qué materia es?
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| Introducciòn al analisis tensorial creo que se llama.
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Yankey
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| dead1327 escribió:
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SI ME PUEDEN AYUDAR CON ESTA DUDA QUE NO TENGO NI IDEA COMO HACERLO =).Gracias de antemano
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Yo nunca hice esta materia, pero te respondo:
Lo que te pide es describir las coordenadas de un vector en un sistema de coordernadas rotado del siguiente modo:
1. Rotar los ejes coordenados alrededor del eje Z
2. Rotar los ejes alrededor del eje X
3. Idem, alrededor del eje Y.
La adición de dos rotaciones, es decir, una rotación efectuada después de otra, corresponde al producto AB de dos matrices. No obstante, la multiplicación de matrices de rotación de espacios de dimensión > 2 no es conmutativa, y por tanto A, B no son conmutativos en la adición. El orden en que se realizan las rotaciones es determinante. Y obviamente, no se obtiene el mismo resultado, salvo casos triviales o algún caso particular de los ángulos.
(Las matrices de rotación en cuestión son conocidas, si las queres enviame un mp, acá son medio difíciles de escribir, o por lo menos yo desconozco como se hacen con latex)
Saludos!!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Yankey escribió:
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(Las matrices de rotación en cuestión son conocidas, si las queres enviame un mp, acá son medio difíciles de escribir, o por lo menos yo desconozco como se hacen con latex)
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Bueh, ya que estamos...
Primera rotación:
![[tex]R_1 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_1 & -\sen \theta_1 & 0 \\\sen \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array} \right ][/tex]](images/latex/c1d7773a17e813dabe9e00ef538f2b3211292313_0.png "[tex]R_1 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_1 & -\sen \theta_1 & 0 \\\sen \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array} \right ][/tex]")
Segunda rotación:
![[tex]R_2 = \left [ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & \cos \theta_2 & -\sen \theta_2 \\0 & \sen \theta_2 & \cos \theta_2\end{array} \right ][/tex]](images/latex/26757311953c31cf76b4af29422df702440083cc_0.png "[tex]R_2 = \left [ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & \cos \theta_2 & -\sen \theta_2 \\0 & \sen \theta_2 & \cos \theta_2\end{array} \right ][/tex]")
Tercera rotación:
![[tex]R_3 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_3 & 0 & \sen \theta_3 \\0 & 1 & 0 \\-\sen \theta_3 & 0 & \cos \theta_3\end{array} \right ][/tex]](images/latex/e4fecf97e5a1e105e204fb4e8f2c81bb61392087_0.png "[tex]R_3 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_3 & 0 & \sen \theta_3 \\0 & 1 & 0 \\-\sen \theta_3 & 0 & \cos \theta_3\end{array} \right ][/tex]")
Composición de las tres rotaciones en el orden pedido, si hice bien las cuentas:
![[tex]R_3R_2R_1 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_1 \cos \theta_3 + \sen \theta_1 \sen \theta_2 \sen \theta_3 &-\sen \theta_1 \cos \theta_3 + \cos \theta_1 \sen \theta_2 \sen \theta_3 & \cos \theta_2 \sen \theta_3 \\\sen \theta_1 \sen \theta_2 & \cos \theta_1 \cos \theta_2 & -\sen \theta_2 \\-\cos \theta_1 \sen \theta_3 + \sen \theta_1 \sen \theta_2 \cos \theta_3 &\sen \theta_1 \sen \theta_3 + \cos \theta_1 \sen \theta_2 \cos \theta_3 & \cos \theta_2 \cos \theta_3 \\\end{array} \right ][/tex]](images/latex/9dea1764c6ee79e40a009da5571c761569163048_0.png "[tex]R_3R_2R_1 = \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta_1 \cos \theta_3 + \sen \theta_1 \sen \theta_2 \sen \theta_3 &-\sen \theta_1 \cos \theta_3 + \cos \theta_1 \sen \theta_2 \sen \theta_3 & \cos \theta_2 \sen \theta_3 \\\sen \theta_1 \sen \theta_2 & \cos \theta_1 \cos \theta_2 & -\sen \theta_2 \\-\cos \theta_1 \sen \theta_3 + \sen \theta_1 \sen \theta_2 \cos \theta_3 &\sen \theta_1 \sen \theta_3 + \cos \theta_1 \sen \theta_2 \cos \theta_3 & \cos \theta_2 \cos \theta_3 \\\end{array} \right ][/tex]")
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dead1327
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 11
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| Me gustaria saber como se obtuvieron las matrices de rotacion,o solo es por descomposicion de vectores y luego puestos en una matriz ?.Gracias por las respuestas
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| dead1327 escribió:
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Me gustaria saber como se obtuvieron las matrices de rotacion,o solo es por descomposicion de vectores y luego puestos en una matriz ?.Gracias por las respuestas
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De la misma manera que se obtiene la matriz de cualquier otra transformación lineal. Escribiendo en las columnas los vectores que resultan de transformar al vector (1, 0, 0), (0, 1, 0), y (0, 0, 1), respectivamente. Si a eso te referís con "descomposicion de vectores y luego puestos en una matriz", entonces sí.
Si no te resulta claro que las columnas de las matrices ![[tex]R_1 \mbox{, } R_2 \mbox{ y } R_3[/tex]](images/latex/8675bd60a6e957f43d677ffbb65874ee32bf8342_0.png "[tex]R_1 \mbox{, } R_2 \mbox{ y } R_3[/tex]") son los transformados apropiados, avisá que lo amplío.
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dead1327
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 11
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| si tuvieras la amabilidad de ampliarme aunque sea R1 seria genial, porque ando medio desconectado,Desde ya muchas gracias =)
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Yankey
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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Para todo x ∈ R2 , su rotación en un ángulo θ medido en la dirección “del eje x1 hacia el eje x2” se representa como una transformación lineal tal que x’= ζ (x).
Mediante trigonometría, se tiene siendo ¦¦x¦¦ la norma inducida por el p.i.c.:
(i) ¦¦x¦¦= ¦¦x'¦¦
(ii) x'1= cos(α + θ)
Sabemos por propiedad que cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y .
Reemplazando según (i) :
(iii) x'=¦¦x¦¦ cos(α)cos(θ)-¦¦x¦¦sen(α)sen(θ);
pero es inmediato que: x1=¦¦x¦¦ cos(α), x2=¦¦x¦¦ sen(α)
Reemplazando en (iii) :
x'1=x1cosθ-x2senθ
Por un procedimiento similar se obtiene:
x'2=x1 senθ+x2 cosθ
Como las fórmulas obtenidas son lineales, entonces estamos en condiciones de
obtener lo siguiente:
x’= ζ (x)= Rx, en donde
![[tex]R= \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sen \theta \\\sen \theta & \cos \theta \\\end{array} \right ][/tex]](images/latex/c7f052ff0b14c73c7a203099df9a6a4012c12ea0_0.png "[tex]R= \left [ \begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sen \theta \\\sen \theta & \cos \theta \\\end{array} \right ][/tex]")
es la matriz que rota al vector x un ángulo en el plano x1-x2 en la dirección del eje x1 hacia el eje x2. Rx entonces es el vector que resulta de dicha rotación.
Obs:
La transformación ortogonal que esto describe se puede visualizar como la rotación de los ejes de coordenadas. No obstante, también puede considerarse que R es un operador que actúa sobre x, tal que lo transforme en otro vector x’, de modo que x y x’ queden expresados en el mismo sistema de coordenadas. Un buen modo de verlo es por ejemplo, imaginarse que en vez de rotar el sistema en sentido levógiro, rotamos el objeto en sentido dextrógiro. Al hablar de orientación conviene interpretar que R actúa sobre las coordenadas, mientras que al hablar de rotar un cuerpo, conviene emplear la noción de transformación de un vector.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Lo podés ver de la siguiente forma, más gráfica, menos algebráica.
Analizas el problema bidimensional y obtenés una matriz de rotaciones. Luego extender eso a R3 no es más que agregar una columna y una fila de 0, excepto en la diagonal.
Luego, con el resultado anterior, podés plantear dos sistemas de 3 ejes ortogonales rotados uno con respecto al otro. Planteas los ángulos y paso a paso realizás una transformación que preserva un eje (por ejemplo si hay rotación en el plano xy, z permanece igual). Así vas escribiendo cada matriz pertinente y luego solo resta multiplicarlas en el orden correcto, ya que no es conmutativo.
Espero que te sirva.
Saludos.
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dead1327
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 05 May 2011
Mensajes: 11
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