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Mensaje |
juanynirvana
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 24 Feb 2011
Mensajes: 93
Carrera: Electrónica
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Sea S una superficie parametrizada por H(u,v) = (F(u.v) , uv^2 , u^2 v) con (u,v) entre [0, 2] x [-2,0] siendo F : R^2 a R una funcion diferenciable en el punto (1,-1) y 2x - 3y + 2 z = 4 el planto tangente al grafico de f en el punto q = (1,-1,F(1,-1))
Hallar la ecuacion del planto tangente a S en el punto x = H(1,-1)
Lo primero que hice fue despejar f(1,-1) del plano tangente, alguien sabe la justificacion para esto? se que se puede hacer pero no se escribirlo. Luego derive H en funcion de u y de v. Y me quedo en el medio la derivada parcial de f respecto a u , y despeus respecto a v. Considere que estas derivadas eran iguales a las respecto a x y respecto a y , respectivamente.
Calculo las derivadas parciales mediantes el plano tangente. Despeje la z de la funcion del plano que me dan y la iguale a la forma z = F(x0,y0) + (derivada parcial respecto a x) (x - x0) + (derivada parcial respecto a y) (y - y0), evalue en el punto (x0,y0)=(1,-1) y saque las derivadas, alguien sabe como justificarlo correctamente?. Despues hice el producto vectorial entre las derivadas de la superficie respecto a u y v, saque una normal y depsues listo, saque el plano.
El planteo esta bien? Me comi alguna cosa?
El plano me quedo : 3x + 2 y - 1/2 z = 1
Gracias : D
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With the ligths out, it´s less dangerous !
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Me suena a implicitas, y si, podes hacer eso.
z=f(x,y), etc.
Cuando buscas el gradiente haces una nueva funcion y la llamas por ejemplo w=f(x,y)-z.
Espero no haber derrapado mucho.
Suerte.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| juanynirvana escribió:
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Lo primero que hice fue despejar f(1,-1) del plano tangente, alguien sabe la justificacion para esto? se que se puede hacer pero no se escribirlo.
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¿La justificación de qué? Tenés una función de 2 variables aproximada con un polinomio de Taylor de primer orden en un entorno del (1, -1). Por definición nomás, el polinomio y la función en el punto valen lo mismo.
| juanynirvana escribió:
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Luego derive H en funcion de u y de v. Y me quedo en el medio la derivada parcial de f respecto a u , y despeus respecto a v. Considere que estas derivadas eran iguales a las respecto a x y respecto a y , respectivamente.
Calculo las derivadas parciales mediantes el plano tangente. Despeje la z de la funcion del plano que me dan y la iguale a la forma z = F(x0,y0) + (derivada parcial respecto a x) (x - x0) + (derivada parcial respecto a y) (y - y0), evalue en el punto (x0,y0)=(1,-1) y saque las derivadas, alguien sabe como justificarlo correctamente?. Despues hice el producto vectorial entre las derivadas de la superficie respecto a u y v, saque una normal y depsues listo, saque el plano.
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La ecuación del plano tangente es la siguiente:
![[tex]\left[ \frac{\partial H}{\partial u}(1,-1) \times \frac{\partial H}{\partial v}(1,-1) \right] \cdot (x, y, z) = 0[/tex]](images/latex/605328cd4f530be0f0857d49d2b23bcac39dae67_0.png "[tex]\left[ \frac{\partial H}{\partial u}(1,-1) \times \frac{\partial H}{\partial v}(1,-1) \right] \cdot (x, y, z) = 0[/tex]")
Cuando tengas que sacar las derivadas parciales de F, de nuevo, usas la ecuación del plano tangente que te dan. ¿La justificación? La misma que antes! Es una aproximación lineal.
Lo que puede llegar a confundir es que "cambien los números" en la ecuación del plano tangente. O sea, que las derivadas parciales no sean esas, sino que sean múltiplos de las verdaderas. La realidad es que a uno le interesa la dirección del gradiente de la función, no "cuánto vale". Pensá que multiplicar por un número el gradiente nunca te va a cambiar al dirección, por lo tanto las derivadas parciales involucradas van a aportar la misma dirección siempre.
Saludos!
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