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Mensaje |
brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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Hola,
Tengo una duda con el ejercicio 2 del coloquio del 16/12/2010 (tema 1).
Link enunciado (T1): http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C16-12-10.pdf
Link resolucion (T2): http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C16-12-10-RES.pdf
Lo que yo hice fue plantear que la curva roja que se muestra en el dibujo de la resolución es mi curva C1, y la linea amarilla es mi curva C2. Entonces, plantee el Teorema del Rotor de la siguiente forma:
Circulación a lo largo de C1 + Circ. a lo largo de C2 = Flujo del rotor (me daba 0)
Entonces Circ. C1 = - Circ. C2.
Parametrizé C2 como G(t)=(2,t,2), -2*raiz(3) <= t <= 2*raiz(3), y después calculé la circulación de la siguiente forma:
Integral entre los valores de t que puse arriba, de: F[G(t)]*G'(t)*dt, y me dio -raiz(3). Entonces la circ. pedida quedaría raiz(3).
En primer lugar, no entiendo por qué se puede elegir cualquier curva (como se dice en la resolución), y en 2do lugar, no entiendo de donde sacar el PI que aparece, sea el camino que se elija para resolverlo.
Desde ya muchas gracias!!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Lo primero, es justamente porque estás trabajando con un campo irrotacional, primero voy a usar el mismo argumento que usaste vos. Pensá en cualquier otra curva que elijas que empiece y termine en los mismos puntos P1 y P2. Al unirla con tu curva original, te va a encerrar una superficie para la cual podés usar el teorema de Stokes como lo hiciste vos, vas a poder decir que el rotor es cero, y que las dos curvas tienen igual circulación con signo contrario. A vos te da que la circulación es con signo contrario porque elegiste una misma orientación para toda la curva cerrada como si fuera una sola, que al separarlas, te quedan como si estuvieses yendo en sentido contrario (una de P1 a P2 y la otra de P2 a P1); en cambio él toma la misma orientación para las dos curvas (de P1 a P2).
El argumento en la resolución es que podés tomar cualquier curva porque el campo es irrotacional (entonces existe una función potencial tal que el campo es su gradiente), por ello, la circulación de P1 a P2 de cualquier curva sólo depende de los valores que tome dicha función potencial en esos puntos.
La segunda, te la debo, creo que las cuentas de la resolución están bien hechas, tal vez como los enunciados de los dos temas son distintos pueden diferir en el resultado numérico, igual no sé, no hice ninguna cuenta.
Saludos!
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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Muchas gracias por la respuesta.
Igualmente, va más allá de que sean temas diferentes, no entiendo cómo puede darle con PI el resultado.
En su tema: si elije la curva azul (como lo hizo) puede ser, pero si elije la amarilla (recta), cómo puede ser que eso le de con PI? (tendría que darle, porque la circulación no depende del camino en este caso).
Brian
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Riskz
Nivel 2
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 8
Carrera: Química
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Hola, te respondo tu inquietud sobre la curva recta amarilla a la que llama K.
Como vos bien dijiste, el resultado debe ser el mismo sin importar la curva elegida ya que estamos trabajando con un campo irrotacional.
Si te fijas , realizando una parametrizacion regular de la curva elegida tal que (t,2,2),siendo ![[tex]t \varepsilon (2\sqrt{3},-2\sqrt{3})[/tex]](images/latex/0683af86c29d66a389fb1ecbaa1cc130b03a3703_0.png "[tex]t \varepsilon (2\sqrt{3},-2\sqrt{3})[/tex]") , entonces su velocidad (1,0,0).
Si realizas la integral entre los limites elegidos
![[tex]\displaystyle\int_{2\sqrt{3}}^{-2\sqrt{3}} (\frac{-2}{ t^2+4}, ..., ...)(1,0,0) dt [/tex]](images/latex/8c93c6cf106f8f6e18cf14f2581dd1b319be0345_0.png "[tex]\displaystyle\int_{2\sqrt{3}}^{-2\sqrt{3}} (\frac{-2}{ t^2+4}, ..., ...)(1,0,0) dt [/tex]")
![[tex]\displaystyle\int_{2\sqrt{3}}^{-2\sqrt{3}} \frac{-2}{ t^2+4} dt [/tex]](images/latex/eee95658f8f56ebe5101d9f27e2754eef4b51a55_0.png "[tex]\displaystyle\int_{2\sqrt{3}}^{-2\sqrt{3}} \frac{-2}{ t^2+4} dt [/tex]")
Ahora si realizas esta integral, la cual como veras no es muy agradable, pero la cual puede ser resuelta con programas como el Wolfram, obtemos:
![[tex]-tan^{-1} (\frac{x}{2}) [/tex]](images/latex/55957fb0527d2a77287e58e2f854c7cab6c5534b_0.png "[tex]-tan^{-1} (\frac{x}{2}) [/tex]") y si evaluamos entre los limites elegidos obtemos como resultado ![[tex]\frac{2\Pi}{3}[/tex]](images/latex/0e8498af3b257f13a82ad8b48431974b22bb32b1_0.png "[tex]\frac{2\Pi}{3}[/tex]") que coincide con el resto de los resultados, pero veras que es mucho mas facil las otras dos formas.
Espero que te haya servido, saludos!
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