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Mensaje |
loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Tengo una duda, vi en un coloquio un problema que pedía hallar los extremos de la función ![[tex]f(x,y)=x^2+y^2[/tex]](images/latex/906ff466898d7075e31f9f8ceb40503e500424d4_0.png "[tex]f(x,y)=x^2+y^2[/tex]") sujeta a la curva dada por ![[tex]r=2cos(\theta),\: \theta \in [0,\frac{\pi}{4}][/tex]](images/latex/88a82e06864ec1e2fd1d82db6da2a85852c4e2aa_0.png "[tex]r=2cos(\theta),\: \theta \in [0,\frac{\pi}{4}][/tex]") .
Yo lo resolví normalmente, parametrizando la restricción y después reemplazándola en la función, y luego con el criterio de la derivada segunda y toda la bola... bueno la cuestión es que me dio un solo extremo, en el punto (2,0). Pero cuando miré en el wiki dice "No olvidar evaluar en los extremos de la curva", osea cuando ![[tex]\theta=0,\: \theta=\frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/7522149b765172a2cb6c0bc4672dae19e2744b67_0.png "[tex]\theta=0,\: \theta=\frac{\pi}{4}[/tex]") , y no entiendo porqué hay que hacer esto, no lo tengo anotado en la carpeta como un teorema ni nada por el estilo...
Lo más parecido que encontré es que para hallar los extremos de una función en una REGIÓN del plano hay que ver a) la función en los bordes de la región, y b) la función adentro de la región.... pero esto es para regiones en el plano y esto es una curva.
Asi que mi duda es, de donde sale esto??
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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Tenes que hacerlo porque los extremos son singularidades, la curva no es continua en esos puntos, entonces no pueden ser nunca "extremos locales" (que es lo que buscas cuando derivas).
Puede haber un mínimo local, pero los extremos pueden ser menores a ese valor, por dar un ejemplo.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Sale de que estás evaluando solo una parte de la curva original y viendo si hay maximos y minimos entre esa restricción, pero en ningun momento considerás los extremos en sí. Te pongo un ejemplo simple así lo cazás:
Si analisás por derivadas vas a buscar los puntos en ese interval que se anulen etc, pero en los extremos no tenés nada que hacer porque no hay derivada. Entonces los tenés que evaluar a mano. Así es como lo pienso yo llevado otras geometrías.
Es exactamente análogo lo que estás diciendo para el plano.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Estàs buscando los extremos sobe una curva de longitud finita.
Es exactamente lo mismo que si en análisis I buscás extremos en un intervalo acotado. La curva puede ser una parabola cóncava hacia arriba (centrada en la mitad del intervalo) por ejemplo, entonces vas a tener un solo punto crítico en el medio que va a ser el mínimo, pero los máximos que van a esta en los extremos del intervalo no van a aparecer como puntos críticos.
EDIT: Me ganó koreano, quería hacer algún dibujo así copado pero ni ganas de subirlo jajaj.
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Me quedó clarísimo, gracias chicos, no se que haría sin ustedes jajaja
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Daniel_Uno
Nivel 3
Registrado: 28 Jul 2010
Mensajes: 32
Ubicación: C. Aut. de Buenos Aires
Carrera: Sistemas
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Conviene aclarar un poco el comentario de Guido. Si en el inicio o final del intervalo, la curva tiene tangente (es derivable), como generalmente pasa, pueden suceder dos cosas:
- si la derivada es nula, la búsqueda con la derivada va a indicar que ese es un máximo o mínimo. Ejemplo: cos t, con t desde 0 hasta otro valor. Este extremo relativo lo detecta la derivada. Si uno calculara la derivada por la definición, tomaría el límite por la izquierda o por la derecha, solamente, y listo.
- si la derivada no es nula, hay que calcular el valor de la función en las puntas del intervalo (y comparar con los demás extremos ya encontrados, si se están buscando los extremos absolutos) (o reportarlo como extremo relativo, excepto que sea una función constante).
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