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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| Y como hago para darme cuenta cuando un extremos es local o absoluto (no entiendo bien bien la definicion formal)
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Trigger escribió:
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Y como hago para darme cuenta cuando un extremos es local o absoluto (no entiendo bien bien la definicion formal)
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Es todo un tema de explicar eso, y no lo tengo muy claro, pero te tiro una idea q antes del parcial todo suma.
Es relativo cuando es solo extremo dentro de un intervalo reducido. Ahora, si ese mismo extremo q te dan de un intervalo, ves q tambien es extremo para todo el dominio de la funcion, seria absoluto.
O sea:
Relativo: solo en un intervalo
Absoluto: todo el dominio
No creo q haya una formula q te diga cuando es q cosa, te tenes q dar cuenta, y las herramientas q mencione pueden ser utiles.
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Algo por el estilo es, suerte.
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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| una vez que averiguas los puntos criticos por lagrange, los evaluas en la funcion, y el que mayor te de, o menor te de, va a ser un extremo absoluto, ya que, de alguna manera, si usas lagrange es porque estas restringiendo la funcion y por decirlo asi, esta como acotada
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Trigger escribió:
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Y como hago para darme cuenta cuando un extremos es local o absoluto (no entiendo bien bien la definicion formal)
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Creo que no hay mucho para decir es sólo lo que bien dijeron arriba, si no me equivoco.
Para darte cuenta si el extremo es absoluto, creo que lo que tenes que probar, la desigualdad para todo par x,y del dominio donde este definido el campo.
Con esto me refiero a:
por ejemplo uno muy facil:
f(x,y) = -x^2-y^2 (un paraboloide)
Yo digo que uno de los maximos relativos (0,0) es maximo absoluto entonces primero
1) (0,0)€ Dom(f) pues existe su imagen. f(0,0) = 0
2) 0>-x^2-y^2
lo que es absolutamente cierto pues -(x^2+y^2) es negativo para CUALQUIER (x,y) del dominio.
Ese CUALQUIER es lo que diferencia un extremo relativo de uno absoluto. Mostrando la desigualdad ya lo podes probar.
Saludos!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Guido_Garrote escribió:
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| Trigger escribió:
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Pequeña duda:
Cuando los extremos estan restringidos, son extremos absolutos y cuando no hay restricciones son extremos locales?
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El concepto de extremo local o absoluto no depende de si buscas extremos restringidos a una curva o no.
El extremo absoluto es el valor máximo o mínimo de una función en un dominio dado.
El extremo local es, a grandes rasgos, un punto donde la función cambia el signo de su derivada primera.
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No chamuyes garrote! 
La primera derivada se puede anular y no ser un extremo.... se llama punto silla! (o de ensilladura).
Como te dijeron, si restringís una función continua a un dominio (donde siempre terminas usando Lagrange para fijarte que pasa en la frontera de ese dominio), vas a tener seguro un mínimo y un máximo absoluto. El resto van a ser locales.
Si la función es contínua y estás en todo [tex]\mathbb {R}^2 [/tex] no necesariamente va a haber máximos y mínimos absolutos.
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Yankey
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| sabian_reloaded escribió:
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Si mal no recuerdo, había una condición suficiente utilizando la Matriz Hessiana Orlada.
Si esa matriz es definida positiva, es un mínimo.
Si esa matriz es definida negativa, es un máximo.
Si esa matriz es indefinida, es un punto silla. (creo).
Para ver como es la matriz podías utilizar el criterio de los autovalores o el criterio de Silvester (creo que se llamaba así), fijandote los signos de todos los menores de la matriz.
Si me preguntas como se arma la Hessiana Orlada, no me acuerdo mucho, pero creo que se arma la función ![[tex] g(\vec x, \vec \lambda)= f(\vec x) - \vec \lambda \vec r(\vec x) [/tex]](images/latex/ebcadd45aa03db333ec9b4839f4e75164ed2436b_0.png "[tex] g(\vec x, \vec \lambda)= f(\vec x) - \vec \lambda \vec r(\vec x) [/tex]") donde llamé ![[tex]\vec r[/tex]](images/latex/f8908da716b12f36a450f6babaab8247326b96a1_0.png "[tex]\vec r[/tex]") a un campo con las restricciones para disminuir la notación.
Luego la Hessiana Orlada es la matriz Hessiana de g, solamente que tenés que derivar con respecto a los distintos lambdas también, por ejemplo, si tenés 2 restricciones, te queda una matriz de 5x5 (3 derivadas segundas espaciales y 2 de los parámetros y todas las derivadas segundas cruzadas ).
Si la matriz queda semidefinida positiva o semidefinida negativa, el teorema de condición suficiente no define nada. Tenés que hacerlo "a mano". Te fijás el comportamiento de la función cerca del punto con incrementons infinitesimales (h,k,j).
Espero que te sirva.
Saludos
P.D: Cuando estás en una región compacta (compacto = cerrado y acotado), podés hacerlo probando, pues el Teorema de Weierstrass afirma que toda función "linda" (los chamuyos de siempre, contínua y diferenciable creo) alcanza su máximo y su mínimo en una región acotada.
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Te cito porque esta muy bien lo que decis, y voy a intentar ampliarlo de manera correcta para dejar el asunto completo.
Normalmente uno emplea los multiplicadores de Lagrange cuando esta restringido a un conjunto A, que tiene una estructura geometrica particular que se denomina subvariedad diferenciable de R^n. Cada estacionario lleva asociado su multiplicador de lagrange. Los puntos regulares pertenecientes a A en los que las funcion diferenciable presenta extremos relativos condicionados por A son necesariamente puntos estacionarios de f restringido a A.
Habitualmente todos los puntos de A son regulares y f es diferenciable n todos ellos. Aqui la determinacion de extremos relativos se comienza por calcular extremos estacionarios.
Si además A es compacto (a nivel topologico significa que es un recubrimiento finito de conjuntos abiertos, al nivel que nos interesa es suficiente definirlo como cerrado y acotado) se hace todo mas facil pues bastara que evalues f en cada uno de los puntos estacionarios para obtener los extremos absolutos. Lo mismo se podria hacer si A no fuese compacto. Solo que si A es compacto tenemos certeza de que f alcanza en A un maximo, o minimo relativo o ambos.
Lo que el teorema de Weierstrass (uno de los tantos) afirma es que una funcion continua en un espacio compacto alcanza su valor maximo y minimo para cualquier intervalo [a,b] de numeros reales (subconjunto compacto de la recta real). Esto se debe a que las funciones continuas preservan la compacidad de un conjunto y ademas cualquier subconjunto de la recta es compacto -segun la def topologica- si solo si es cerrado y acotado.
Ahora en particular excluyendo a los puntos estacionarios donde la funcion f o g no es diferenciable dos veces y al conjunto formado por los puntos de A donde f no es diferenciable o g no es regular, podemos aplicar el criterio de condiciones de segundo orden para decidir si un punto estacionario p perteneciente a un entorno E(f,A) es punto maximo o minimo relativo, lo que se hace es proponer un homeomorfismo de clase c1(una parametrizacion local de un entorno relativo Vp interseccion A), φ:U-->A (interseccion)Vp, donde Vp es entorno abierto de p., definido en un abierto U incluido en R^k, con k=n-m. esto siempre que se cumpla:
φ(0)=p y U contiene al cero. (n=cantidad de variables de la funcion f; m=cant de restricciones)
Entonces p sera punto maximo(minimo) relativo para f restringido a A si y solo si 0 es un punto maximo(minimo) para la funcion real de k variables que resulta de la composicion de f y φ. Es decir de F=f o φ, definida en U. Es preciso calcular entonces DijF(p)
Empleando el teorema de la funcion implicita estas seguro que existe este homeomorfismo el cual se puede suponer-permutando-de la forma φ(x)=(x,f(x)). Es decir, en las ecuaciones de ligadura
gi(x1,...,xn), 1<=i<=m
se puede despejar localmente m variables en funcion de las demas*.
Ejemplo:
A saber supongamos que debemos maximizar f(x,y,z) sujeta a la restriccion x + y + z = 1 . Esto se puede reducir a la maximizacion de F(x,y,z)=f(x,y,1-y-z). Lo que se hace es reducir el problema de m restricciones a uno de k=n-m variables libres. Entonces el signo de los menores del hessiano olgado a evaluar es el de las n-m submatrices.
Las reglas para el signo del hessiano orlado son:
-Def Pos: Signo primer subdeterminante: (-1)^m, y luego que se mantenga ese signo para el resto.
-Def Neg: Signo del primer subdeterminante (o determinante de la primer submatriz para no abusar del lenguaje): (-1)^m+1 y que vayan alternando.
Si algun subdet. vale cero, entonces es semidef. (positiva o negativa segun como venga el patron).
Y luego es como bien decis vos.
Hay un metodo mas copado con autovalores pero ya es suficiente creo yo con todo esto mas lo que te dijeron.
*PD:Si se vuelve jodido obtener explicitamente las ecuaciones de las funciones implicitas -cosa que es bastante logica-, no problem!! porque es posible calcular en el punto p, las derivadas parciales primeras y segundas de las implicitas!! En efecto, estas derivadas te permiten calcular las derivadas sgundas, que son las que nos incumben.
Saludos!!
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Yankey
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Hessiano orlado quise decir, acto fallido!!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Trigger escribió:
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Y como hago para darme cuenta cuando un extremos es local o absoluto (no entiendo bien bien la definicion formal)
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Un método más o menos bueno que yo usaba cuando trataba de definir si el extremos es absoluto o no, es: si la función es más o menos buenita (diferenciable y con una gráfica suave) lo que podés hacer una vez que encontraste los puntos en donde tiene extremos, es plantear la intersección de la superficie con su plano tangente en ese punto.
Si la intersección te da únicamente el punto donde el plano es tangente, el extremo es absoluto, si te da algo más grande que un punto (una curva, 2 puntos) el extremo es relativo.
Ejemplo: la función ![[tex]f(x,y) = x^{2} + y^{2}[/tex]](images/latex/eeed6c808e5b5b408ea40bb47a802a61bc4db8a9_0.png "[tex]f(x,y) = x^{2} + y^{2}[/tex]") tiene como gráfico a un paraboloide centrado en el [/tex]](images/latex/a1fb598f55234f3cf3239626d489655a427e3c80_0.png "[tex](0,0,0)[/tex]") y que crece pa' rriba. Tiene un extremo absoluto en [/tex]](images/latex/583815add73f267127a35e3c388acead6b75ce4b_0.png "[tex](0,0)[/tex]") y el plano tangente en ese punto tiene ecuación ![[tex]z = 0[/tex]](images/latex/1aca19f66d2ca35fa574ccd1f4f30329bcc6e9fb_0.png "[tex]z = 0[/tex]") . La intersección entre la superficie y el plano es únicamente el punto y claramente el extremo es un mínimo absoluto.
Obviamente que esto te sirve sólo para funciones de 2 variables...
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ynsua
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 12 Dic 2008
Mensajes: 801
Ubicación: la lucila, vte lopez
Carrera: Industrial
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| capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Criterio de la segunda derivada, si te da mayor q 0 es minimo, caso contrario es maximo. Acordate de justificar con el determinante Hessiano la existencia del extremo.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Si por una de esas cosas la matriz Hessiana es semidefinida, analizás el entorno del punto acercandote de diferentes formas (como hacías con límites).
| ynsua escribió:
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capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Media pila, acabo de ver que en esta pagina y en la anterior esta contestado eso...
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ynsua
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 12 Dic 2008
Mensajes: 801
Ubicación: la lucila, vte lopez
Carrera: Industrial
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| sabian_reloaded escribió:
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Si por una de esas cosas la matriz Hessiana es semidefinida, analizás el entorno del punto acercandote de diferentes formas (como hacías con límites).
| ynsua escribió:
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capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Media pila, acabo de ver que en esta pagina y en la anterior esta contestado eso...
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pregunto xq lo q lei hablaban de pts criticos, no un solo punto!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
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Carrera: No especificada
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| ynsua escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Si por una de esas cosas la matriz Hessiana es semidefinida, analizás el entorno del punto acercandote de diferentes formas (como hacías con límites).
| ynsua escribió:
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capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Media pila, acabo de ver que en esta pagina y en la anterior esta contestado eso...
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pregunto xq lo q lei hablaban de pts criticos, no un solo punto!
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Ah pero te zarpás en pancho!!!
Querés que te detalle caso por caso? Cuando tenés 1... cuando tenés 2.... cuando tenés 3..... etc.
Necesitás que te limpien el orto también?
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Joaco.
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 25 Jul 2006
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Carrera: Industrial
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| sabian_reloaded escribió:
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| ynsua escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Si por una de esas cosas la matriz Hessiana es semidefinida, analizás el entorno del punto acercandote de diferentes formas (como hacías con límites).
| ynsua escribió:
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capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Media pila, acabo de ver que en esta pagina y en la anterior esta contestado eso...
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pregunto xq lo q lei hablaban de pts criticos, no un solo punto!
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Ah pero te zarpás en pancho!!!
Querés que te detalle caso por caso? Cuando tenés 1... cuando tenés 2.... cuando tenés 3..... etc.
Necesitás que te limpien el orto también?
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Hay 2 formas:
no ortodoxa: probar en el punto y en cualquier otro del dominio.
ortodoxa: la 2da derivada te describe la concavidad.
Si la 2da derivada en el punto es >0 entonces, ese punto es mínimo (entorno forma de " V " ).
Si la 2da derivada en el punto es <0 entonces, ese punto es máximo
(entorno forma de " ^ " ).
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ynsua
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 12 Dic 2008
Mensajes: 801
Ubicación: la lucila, vte lopez
Carrera: Industrial
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| sabian_reloaded escribió:
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| ynsua escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Si por una de esas cosas la matriz Hessiana es semidefinida, analizás el entorno del punto acercandote de diferentes formas (como hacías con límites).
| ynsua escribió:
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capaz es una pregunta pelotuda, pero si tengo un solo punto critico, como se si es maximo o minimo?
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Media pila, acabo de ver que en esta pagina y en la anterior esta contestado eso...
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pregunto xq lo q lei hablaban de pts criticos, no un solo punto!
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Ah pero te zarpás en pancho!!!
Querés que te detalle caso por caso? Cuando tenés 1... cuando tenés 2.... cuando tenés 3..... etc.
Necesitás que te limpien el orto también?
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Tranquilo loco, tan mal te pones por una pregunta?? Mas vale que nunca se te ocurra dar clases ya que 1er pregunta boluda q venga lo sacas cagando.
GRACIAS por tu ayuda
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