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ñ
Nivel 4
Registrado: 02 Mar 2007
Mensajes: 64
Carrera: Industrial
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Necesito analizar la estabilidad para =-2y[/tex]](images/latex/a5e9108c676dd4645f368ac356dd4009833f6117_0.png "[tex](d^2 u/dt^2)=-2y[/tex]") usando el método de Euler. Son los ejercicios 3 y 4 de la guía de PVI.
Hago cambio de variables, llego a
![[tex]dx_1 /dt = x_2[/tex]](images/latex/3edb343036e9b7146412365cbee198ff3fbbb8fa_0.png "[tex]dx_1 /dt = x_2[/tex]")
![[tex]dx_2 /dt= -2x_1[/tex]](images/latex/3668a208cba6c68a0f6a6fc0f14aa4911b4a9fd4_0.png "[tex]dx_2 /dt= -2x_1[/tex]")
Cómo se sigue desde acá con el tema del análisis de las perturbaciones?
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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No tengo la guía a mano, pero para seguir el procedimiento general del análisis de estabilidad, tendrías que discretizar eso que obtuviste con el método de Euler. Después introducís las perturbaciones y simplificás todo lo que puedas; si el sistema resultante es no lineal, lo linealizás con algún criterio. Una vez que tu sistema es lineal, analizás los autovalores de la matriz de coeficientes.
En el wiki hay coloquios resueltos con ejercicios similares.
EDIT: Bue, el que vi resuelto en el wiki es un PVI de primer orden. La idea es ésta:
Tenés el PVI de segundo orden
![[tex]\begin{array}{l} \frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} = - 2y \\ t > 0 \\ y(0) = {y_0} \\ y'(0) = y{'_0} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/c3b6276b1c3728998bca46564c410767c6f44bbb_0.png "[tex]\begin{array}{l} \frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} = - 2y \\ t > 0 \\ y(0) = {y_0} \\ y'(0) = y{'_0} \\ \end{array}[/tex]")
Lo transformás a un sistema de 2 ecuaciones de primer orden:
![[tex]\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dt}} = z \\ \frac{{dz}}{{dt}} = - 2y \\ y(0) = {y_0} \\ z(0) = {z_0} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/beaf1efa3667272fe37a2499f4ef3019390eaa33_0.png "[tex]\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dt}} = z \\ \frac{{dz}}{{dt}} = - 2y \\ y(0) = {y_0} \\ z(0) = {z_0} \\ \end{array}[/tex]")
Discretizás las variables:
![[tex]\begin{array}{l} {t_n} = {t_0} + n \cdot h \\ y({t_n}) \to {u_n} \\ z({t_n}) \to {v_n} \\ \end{array}[/tex]](images/latex/216cde504db879b00474cdc6412f37dd53e756ed_0.png "[tex]\begin{array}{l} {t_n} = {t_0} + n \cdot h \\ y({t_n}) \to {u_n} \\ z({t_n}) \to {v_n} \\ \end{array}[/tex]")
Aplicás el método de Euler:
![[tex]\begin{array}{l} {u_{n + 1}} = {u_n} + hf({u_n},{t_n}) = {u_n} + h{v_n} \\ {v_{n + 1}} = {v_n} + hf({v_n},{t_n}) = {v_n} + h( - 2{u_n}) \\ \end{array}[/tex]](images/latex/95b22fd409cf4091242a50acd7be383c312393c4_0.png "[tex]\begin{array}{l} {u_{n + 1}} = {u_n} + hf({u_n},{t_n}) = {u_n} + h{v_n} \\ {v_{n + 1}} = {v_n} + hf({v_n},{t_n}) = {v_n} + h( - 2{u_n}) \\ \end{array}[/tex]")
Introducís las perturbaciones:
![[tex]\begin{array}{l} {u_{n + 1}} + \varepsilon _{n + 1}^u = {u_n} + \varepsilon _n^u + h({v_n} + \varepsilon _n^v) \\ {v_{n + 1}} + \varepsilon _{n + 1}^v = {v_n} + \varepsilon _n^v + h( - 2({u_n} + \varepsilon _n^u)) \\ \end{array}[/tex]](images/latex/92532fc4c1c45263ae1da567d2c73b8b2f95d43e_0.png "[tex]\begin{array}{l} {u_{n + 1}} + \varepsilon _{n + 1}^u = {u_n} + \varepsilon _n^u + h({v_n} + \varepsilon _n^v) \\ {v_{n + 1}} + \varepsilon _{n + 1}^v = {v_n} + \varepsilon _n^v + h( - 2({u_n} + \varepsilon _n^u)) \\ \end{array}[/tex]")
Simplificás para obtener el sistema (lineal en este caso):
![[tex]\begin{array}{l} \varepsilon _{n + 1}^u = \varepsilon _n^u + h\varepsilon _n^v \\ \varepsilon _{n + 1}^v = \varepsilon _n^v - 2h\varepsilon _n^u \\ \end{array}[/tex]](images/latex/c54ea929073a2540d9fccc177dfb4e9d21af6900_0.png "[tex]\begin{array}{l} \varepsilon _{n + 1}^u = \varepsilon _n^u + h\varepsilon _n^v \\ \varepsilon _{n + 1}^v = \varepsilon _n^v - 2h\varepsilon _n^u \\ \end{array}[/tex]")
Y lo escribís como:
![[tex]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _{n + 1}^u} \\ {\varepsilon _{n + 1}^v} \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & h \\ { - 2h} & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _n^u} \\ {\varepsilon _n^v} \\\end{array}} \right)[/tex]](images/latex/ebe32ef7a85720921f6ae90d38d13a7cbe7f56a9_0.png "[tex]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _{n + 1}^u} \\ {\varepsilon _{n + 1}^v} \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & h \\ { - 2h} & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _n^u} \\ {\varepsilon _n^v} \\\end{array}} \right)[/tex]")
La matriz de coeficientes tiene que ser tal que, al multiplicar un vector, lo "achique" (de esa forma las perturbaciones no se amplifican, que es lo que necesitás para tener estabilidad).
Para que esto suceda, el radio espectral de la matriz tiene que ser menor que 1. O sea, buscás los autovalores y hallás el valor del paso que haga que todos tengan módulo menor que 1 (si todos valen 1, tenés estabilidad condicional o algo así, no recuerdo bien el nombre. Si todos son menores que 1, tenés estabilidad fuerte).
Cualquier cosa volvé a preguntar, saludos!
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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En este caso te quedan dos autovalores imaginarios:
r1 = - (2)^1/2 . i . h +1
r2 = (2)^1/2 . i . h +1
y si busco que |r1| y |r2| sean menor que uno termina quedando que h tiene que se mayor que 0 pero no encontré ninguna condición que me diga hasta que valor puedo tomar h.
Alguno lo hizo?
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| me olvide de algo, solo hay que mirar el modulo de la parte real y que sea menor que 1; pero en este caso no sucede eso, así que no se como se sigue para encontrar alguna relación con respecto a h.
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mariam1
Nivel 2
Registrado: 20 Jul 2010
Mensajes: 9
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| el modulo del autovalore no sería : raiz(1+(h raiz(2))²) y todo eso menor que uno? eso me queda que h<0, que estoy viendo mal?
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| solo hay que mirar la parte real del autovalor
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mariam1
Nivel 2
Registrado: 20 Jul 2010
Mensajes: 9
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MarianAAAJ
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 14 Ene 2009
Mensajes: 437
Carrera: Informática
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| Entonces como te queda que la parte real es igual a 1, el problema es débilmente estable. Pero hay un problema porque te queda parte imaginaria entonces lo que pienso que hay que hacer es decir que el paso h debe tender a 0 y para realizar los cálculos elegís un paso que parezca lo suficientemente chico para garantizar que la resolución este bien. Es lo que deduje, pero no se si esta bien.
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avogadro
Nivel 5
Registrado: 11 Ago 2008
Mensajes: 127
Carrera: Química
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| Cuando da autovalores imaginarios, hay que tomar el modulo, como se hace con cualquier numero imaginario, o sea parte real e imaginaria al cuadrado y a eso raiz, y luego hay que verificar para que paso eso es menor que 1. Saludos.
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