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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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Sea f:R^2----->R una funcion C1 tal que f(1,2)=1, y el plano 3x-2y+3z=2 es tangente al grafico de f en (1,2,1). Hallar una ecuacion del plano tangente en (1,2,1) a las superficie S: 4xz - 3yf(x,y) + xyz = 0
El plano tangente al grafico de f tiene como vector normal a un vector paralelo al gradiente de f.
z=f(x,y) ------> F(x,y,z)=f(x,y) - z
GradF=(f'x,f'y,-1)=K(3,-2,3)
Como hago para justificar que una variable de la superficie esta escrita en funcion de las otras 2? ¿Teorema de la Funcion Implicita?
Como consigo el plano tangente a una superficie? Producto vectorial?
estoy medio perdido
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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El vector normal al plano que es tangente a la gráfica de f en un punto (x0,y0,z0), no es paralelo al gradiente de f en (x0,y0), el gradiente de f es un vector en el plano xy mientras que el vector normal a ese plano es un vector en R^3.
Podés pensarlo así: la superficie S descripta por esa ecuacion se puede suponer una superficie de nivel k (no importa k, supongamos que es 0, da igual) de un campo escalar W. Entonces un vector normal a la superficie S en un punto P perteneciente a S es el gradiente de W en P. Si W(x,y,z)=4xz - 3yf(x,y) + xyz, gradW(x,y,z)=(4z-3yf'x+yz, -3f-3yf'y+xz, 4x+xy), evaluado en (1,2,1) es un vector normal a S. Vas a tener como incognita f'y en (1,2) y f(1,2) pero eso es dato, lo sacás del plano tangente a f llevandolo a la forma z=z0+f'x(x-x0)+f'y(y-y0).
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| Yase, por eso puse F(x,y,z)=f(x,y) - z
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tukero
Nivel 2
Registrado: 13 Jul 2010
Mensajes: 12
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como bien planteaste para obtener las derivadas de f:
F(xyz)=f(xy)-z, de aca tenes que (f'x, f'y, -1) // k(3, -2, 3). y sacas que f'x=-1 y f'y=2/3.
Ahora bien en este caso, al ser una funcion de tres variables al sacar su gradiente obtenes un vector perpendicular a la superficie de nivel(del mismo modo que en una de 2 variables tenes un vector perpendicular a las curvas de nivel).
Entonces haces.
G(xyz)=4xz-3yf(xy)+xyz
G'x= 4z- 3yf'y(xy)+ xyz
G'y= -(3f(xy) + 3yf'y(xy)) + xz
G'z= 4x +xy
ahi remplazas por los puntos que te dan, entonces te armas la normal del plano, y lo hallas en el punto indicado.
espero que te sirva
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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\MOD (Guido_Garrote): Muevo a Problemas y ejercicios. Porfavor, usen titulos más descriptivos, saben la fecha de este parcial, asi lo agrego al titulo?
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| Cuando una superficie es tangente al grafico de una funcion f en un punto dado?
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Joaco.
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 25 Jul 2006
Mensajes: 1041
Carrera: Industrial
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Cuando la normal del plano de la superficie es ortogonal a las derivadas parciales de la función en el punto:
En R^3 se vería algo como esto:
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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Trigger, porfavor, usá títulos más descriptivos.
\MOD (Guido_Garrote): Uno con topic relacionado
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Joaco. escribió:
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Cuando la normal del plano de la superficie es ortogonal a las derivadas parciales de la función en el punto:
En R^3 se vería algo como esto:
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Siempre y cuando halla diferenciabilidad.
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Joaco.
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 25 Jul 2006
Mensajes: 1041
Carrera: Industrial
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| Cierto, me olvide el "Cuando la función es buena".
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