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romi_18
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 31 Ene 2010
Mensajes: 97
Carrera: Química
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Dejo algunos ejercicios donde hay que graficar y describir conjuntos en polares a ver si alguien me puede dar una mano porque la verdad no me salen. (Son bastantes pero bueno, con qe m ayuden con alguno estoy más qe agradecida)
http://img218.imageshack.us/img218/7494/forogg.jpg
o) Por lo pronto el 1 y 2 no sé como hacerlos.
o)El 3 creo que queda un e^2 para graficar pero no sé dps como parametrizar la intersección de la sup con el plano z=y
o) El 4, problema con las polares..
o) El 5 no llego a desparametrizarlo. No sé cómo combinar x y z
o) 6 y 7, más polares..
Gracias.
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romi_18
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 31 Ene 2010
Mensajes: 97
Carrera: Química
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The_Unknwon
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 22
Carrera: Química
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| TE amo! justo iba poner esto! sos una genia!
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The_Unknwon
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 22
Carrera: Química
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y te gustan los Artic Monkeys! conozcamosnos jajaja. che igual sabés como hacerlos?
nadie puso nada!  
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brunojm
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 250
Ubicación: De vez en cuando
Carrera: Civil
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Bueno, mirando algunos salteados(no caso una con el latex, asi que espero que se entienda):
en el 1) si x^2 +y^2<1 (circunferencia de radio 1) entonces f(x,y)= 3^(1/2).x -y , pero como la funcion tiene que ser mayor o igual a 0, y<3>1 , f(x,y)= -y , pero para que este en A: y <0>1, pi<=phi<= 2 pi} U {(r, phi)/ r<1, 0<=phi<=pi/3 u 5/3pi<=phi<=2pi}
y lo de la continuidad en los puntos del eje x, donde es probable que tengas problemas de continuidad van a ser los que cortan a la circunferencia porque se juntan 2 definiciones (1,0) y (-1,0) y ahi tenes que verificar que existe la funcion en ese punto, que exista limite etc
3)tenes que H(xyz)=(gof)(xyz)=g(f(xyz))=g(x^2+y^2-2z)
como g(t)=e^t, entonces H(xyz)=e^(x^2+y^2-2z), eso evaluado en el punto te queda e^2. Igualas las 2 expresiones, aplicas en ambos lados ln y te va a quedar x^2+y^2-2z=2, acomodas la ecuacion y te va a quedar un paraboloide
en el b) con la condicion de z=y calculas la interseccion(seguro deberas completar cuadrados, y luego parametrizar para que te quede la curva)
4) sabes que lo de adentro de la raiz tiene que ser mayor o igual a cero, ahi tenes una condicion, lo que esta en el denominador debe ser distinto de cero, despejas y te queda otra condicion(en realidad 2, porque te van a quedar la x e y en modulo, vas a tener 2 rectas), te fijas en que sectores dentro de la circunferencia de radio 2 queda el dominio..creo jeje no me acuerdo muy bien, era algo asi como de 0 a pi/6, de 5/6pi a 7/6pi, y de 11/6pi a 2pi
5)aca llamas x=2cos(u) + 2 , y=v , z=2sen(u)
despejas sen y cos, y sabes que sumarlos luego de elevarlos al cuadrado da 1, te debe quedar algo asi: (x-2/2)^2+ (z/2)^2=1 con y entre -2 y 2(mantiene la condicion de v) es un cilindro de eje paralelo al y
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brunojm
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 250
Ubicación: De vez en cuando
Carrera: Civil
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salio mal la primera parte, lo que esta en negrita no salio
si x^2 +y^2<1>=1 , f(x,y)= -y , pero para que este en A: y =<0>=1, pi<phi<2 pi} U {(r, phi)/ r<1, 0<phi<pi/3 u 5/3pi<phi<2pi}
(en los angulos va mayor/menor o igual)
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brunojm
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 250
Ubicación: De vez en cuando
Carrera: Civil
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Bueno, despues voy a editar todo porque sigue saliendo mal,(solo lo del punto 1) todo cortado, la cosa es que la primera condicion te da una recta, y la segunda, los 'y' menores a cero. En polares, lo unico que no salio es que el radio en la primera condicion es mayor o igual a 1
Saludos y suerte
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riffraff
Nivel 5
Registrado: 28 Jun 2009
Mensajes: 149
Carrera: Informática
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| brunojm escribió:
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salio mal la primera parte, lo que esta en negrita no salio
si x^2 +y^2<1>=1 , f(x,y)= -y , pero para que este en A: y =<0>=1, pi<phi<2 pi} U {(r, phi)/ r<1, 0<phi<pi/3 u 5/3pi<phi<2pi}
(en los angulos va mayor/menor o igual)
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no tendría que ser fi perteneciente a [0, 1/3 pi] u [4/3pi, 2pi)?
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romi_18
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 31 Ene 2010
Mensajes: 97
Carrera: Química
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The_Unknwon
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 27 May 2010
Mensajes: 22
Carrera: Química
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| gracias too! no se entiende mucho lo de polares pero a esta hora ya estoy jugado!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Vamos con el 3)
Busquemos "el nivel" antes que nada:
![[tex]h(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = e^{x^{2}+y^{2}-2z}[/tex]](images/latex/f3bb6de0ee46d763633d1fb8ad7792eaeb7bde8c_0.png "[tex]h(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = e^{x^{2}+y^{2}-2z}[/tex]")
![[tex]h(0,0,-1) = e^{0^{2}+0^{2}-2 \cdot (-1)} = e^{2}[/tex]](images/latex/f472ec600aa5f66b8ee66b0f01b708f811d05660_0.png "[tex]h(0,0,-1) = e^{0^{2}+0^{2}-2 \cdot (-1)} = e^{2}[/tex]")
Entonces, buscamos la superficie de nivel ![[tex]e^{2}[/tex]](images/latex/29fd62e75393210b893a97508f08b3aa985552db_0.png "[tex]e^{2}[/tex]") , para ello:
![[tex]e^{x^{2}+y^{2}-2z} = e^{2}[/tex]](images/latex/06dc2d15d68d16904ba21e0632dedfb667aa90cc_0.png "[tex]e^{x^{2}+y^{2}-2z} = e^{2}[/tex]")
![[tex]x^{2}+y^{2}-2z = 2[/tex]](images/latex/16e474a0ce6c9bee2be0b5d885cd302700a8ef03_0.png "[tex]x^{2}+y^{2}-2z = 2[/tex]")
Ésta es la ecuación de la superficie de nivel que buscabamos. Hermoso paraboloide con vértice en el origen y corrido 2 unidades hacia arriba.
Ahora la intersección:
![[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}-2z = 2\\z=y\end{array}\right.[/tex]](images/latex/6d86ffd198549af436579fcab3560298a003f5d6_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}-2z = 2\\z=y\end{array}\right.[/tex]")
![[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}-2y = 2\\z=y\end{array}\right.[/tex]](images/latex/fa26804051dc4f56d44726fb7c18a356c3f031d1_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}-2y = 2\\z=y\end{array}\right.[/tex]")
Completamos cuadrados:
![[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+(y-2)^{2} = 6\\z=y\end{array}\right.[/tex]](images/latex/282093e5bb779b05420bca579184fdf302c9b91e_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+(y-2)^{2} = 6\\z=y\end{array}\right.[/tex]")
La intersección es equivalente a la de un cilindro con un plano, o sea, una circunferencia. Parametrizamos, para ello en "x" y en "y" si nos fijamos, hay una circunferencia de radio raiz de 6 no más, por lo que:
![[tex]\vec{g}(t) = \left(\sqrt{6}cos(t), \sqrt{6}sen(t), \underbrace{\sqrt{6}sen(t)}_{\mbox{porq z = y}} \right) \, \, \, \, \, t \in [0,2\pi][/tex]](images/latex/14b42609c8625ad0999ccb9dec53a2fb9324f50a_0.png "[tex]\vec{g}(t) = \left(\sqrt{6}cos(t), \sqrt{6}sen(t), \underbrace{\sqrt{6}sen(t)}_{\mbox{porq z = y}} \right) \, \, \, \, \, t \in [0,2\pi][/tex]")
Ahora vayamos con el 5)
Desparametricemos:
![[tex]\left\{\begin{array}{lll}x=2cos(u)+2\\y=v\\z=2sen(u)\end{array}\right.[/tex]](images/latex/551ed284d81af1516e71e77eb345c35b66823c79_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{lll}x=2cos(u)+2\\y=v\\z=2sen(u)\end{array}\right.[/tex]")
![[tex]\left\{\begin{array}{lll}x-2=2cos(u)\\y=v\\z=2sen(u)\end{array}\right.[/tex]](images/latex/35b94d56c68789ad276fd535da5d1f02a968bbc8_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{lll}x-2=2cos(u)\\y=v\\z=2sen(u)\end{array}\right.[/tex]")
![[tex]\left\{\begin{array}{ll}(x-2)^{2}+z^{2}=4\\y=v\end{array}\right.[/tex]](images/latex/fdcaead7af8f0082f30af4b0eedbfb09db4eed62_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{ll}(x-2)^{2}+z^{2}=4\\y=v\end{array}\right.[/tex]")
Éste último paso por la identidad trigonométrica: ![[tex]cos^{2}(pepe) + sen^{2}(pepe)=1[/tex]](images/latex/ce6938348356bc95d15e3deb168099a36768e986_0.png "[tex]cos^{2}(pepe) + sen^{2}(pepe)=1[/tex]")
No me interesa lo que valga "y", entonces la ecuación cartesiana de S es:
^{2}+z^{2}=4[/tex]](images/latex/7da44702027f046a8bbafea2e9f237f36d1eda40_0.png "[tex](x-2)^{2}+z^{2}=4[/tex]")
Recorrida desde el [/tex]](images/latex/f2c0e57cb4707c20d75efbf92e76cbac0b68eb5e_0.png "[tex](4,-2,0)[/tex]") hasta el [/tex]](images/latex/b092946acd15fb3318c7d43fe87ea2666ad3848b_0.png "[tex](0,2,0)[/tex]")
Ahora el b)
![[tex]\vec{X}(u,0) = ( 2cos(u)+2,0,2sen(u) )[/tex]](images/latex/6d4488e69f07d011b75171498826683f84c29bdb_0.png "[tex]\vec{X}(u,0) = ( 2cos(u)+2,0,2sen(u) )[/tex]")
Tangente:
![[tex]\vec{X}^{'}(u,0) = ( -2sen(u),0,2cos(u) )[/tex]](images/latex/b12d82b42659f9ceb7a156871b40d59c4a9a6c98_0.png "[tex]\vec{X}^{'}(u,0) = ( -2sen(u),0,2cos(u) )[/tex]")
Para saber en que "u" evaluar tenemos que plantear lo siguiente (mirando ![[tex]\vec{X}(u,0)[/tex]](images/latex/3b13af723b5d88af376777026de652656cc8141a_0.png "[tex]\vec{X}(u,0)[/tex]") ):
![[tex]\left\{\begin{array}{lll}2cos(u)+2=2+\sqrt{2}\\0=0\\2sen(u)=\sqrt{2} \end{array}\right.[/tex]](images/latex/c1c2673426ea076e2b94a8382f2e769f43151237_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{lll}2cos(u)+2=2+\sqrt{2}\\0=0\\2sen(u)=\sqrt{2} \end{array}\right.[/tex]")
Inmediatamente: ![[tex]u_{0}= \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/7d1dc50b2679502e167284a2a3a90377b61db495_0.png "[tex]u_{0}= \frac{\pi}{4}[/tex]")
Enchufamos esto en la tangente y armamos la ecuación de la recta:
![[tex]\overline{L}= \lambda (-\sqrt{2},0,\sqrt{2})+(2+\sqrt{2},0,\sqrt{2}), \, \, \, \, \, \lambda \in \Re [/tex]](images/latex/6e7c8ccfd8fffe9e785dd87363d3d331bb0e43eb_0.png "[tex]\overline{L}= \lambda (-\sqrt{2},0,\sqrt{2})+(2+\sqrt{2},0,\sqrt{2}), \, \, \, \, \, \lambda \in \Re [/tex]")
![[tex]\overline{L}= (- \lambda \sqrt{2}+2+\sqrt{2},0, \lambda \sqrt{2} + \sqrt{2}), \, \, \, \, \, \lambda \in \Re [/tex]](images/latex/b0a9e2d70b4e19eb5c34e2867ae79ec46118d7f8_0.png "[tex]\overline{L}= (- \lambda \sqrt{2}+2+\sqrt{2},0, \lambda \sqrt{2} + \sqrt{2}), \, \, \, \, \, \lambda \in \Re [/tex]")
Ahora la intersección con el plano:
![[tex]\lambda \sqrt{2} + \sqrt{2} = - \sqrt{2}[/tex]](images/latex/8b5d568bebc953489f0b0a68ac20054ee0a2bad7_0.png "[tex]\lambda \sqrt{2} + \sqrt{2} = - \sqrt{2}[/tex]")
Que se cumple para ![[tex]\lambda = -2[/tex]](images/latex/9e0f90eccb775fc0a2d58ef2c353f3f06bd0cffc_0.png "[tex]\lambda = -2[/tex]")
Entonces la intersección es:
![[tex]\left( 3\sqrt{2}+2, 0, -\sqrt{2} \right)[/tex]](images/latex/feb65ec362f7e72f45c8e7e4df16f1cb5fa7efba_0.png "[tex]\left( 3\sqrt{2}+2, 0, -\sqrt{2} \right)[/tex]")
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