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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Hola.
Alguien podría tirarme una brújula para poder encarar este ejercicio?.
El enunciado es:
Un fabricante de caños posee una máquina que produce piezas de longitud
aleatoria X (en metros) con densidad ![[tex]f_X(x)=e ^{-x}\mathbf{1}\{x \geq 0 \}[/tex]](images/latex/9b48e74e041268e20f3e8a4a2561bfd613a0e9be_0.png "[tex]f_X(x)=e ^{-x}\mathbf{1}\{x \geq 0 \}[/tex]") . Un cliente está dispuesto a pagar una gran suma de dinero por 100000 caños, pero impone como condición que la longitud Y (en metros) de los mismos debe estar distribuida de acuerdo con la densidad ![[tex]f_Y(y)=(3)\mathbf{1}\{0 \leq y \leq 1/4\}+(1/3)\mathbf{1}\{1/4<y<1\}[/tex]](images/latex/dd06b00bce76177d2583d7d621699f3d828c3786_0.png "[tex]f_Y(y)=(3)\mathbf{1}\{0 \leq y \leq 1/4\}+(1/3)\mathbf{1}\{1/4<y<1\}[/tex]") .
El costo que supondría apagar la máquina, recalibrarla, hacer los 100000 caños, y luego volverla al estado original, es excesivo. Sin embargo, justo cuando estaba por rechazar el trabajo, uno de sus empleados le dice: "Podemos hacerlo. Sólo consiga una máquina de precisión para cortar 100000 caños de la producción original".
Así lo hicieron y el jefe le dijo al empleado: "Todavía no entiendo cómo hiciste para satisfacer las especificaciones del cliente".
Hallar la función utilizada por el empleado para cortar los caños.
Lo que creo es que hay que hallar la función cambio de variable que transforma ![[tex]f_X(x)[/tex]](images/latex/fe979f42031cb7569ea281fed70506f9dbcc0418_0.png "[tex]f_X(x)[/tex]") en ![[tex]f_Y(y)[/tex]](images/latex/15276938bea106555dc0d9bf5ea7e7d640702520_0.png "[tex]f_Y(y)[/tex]") , pero no sé por donde empezar.
Se agradece de antemano.
Saludos,
Seba.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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No sé bien cómo te habrán enseñado a trabajar con cambio de variable en tu curso. Hay dos ''métodos'', yo me acuerdo bien el que usa funciones de distribución.
Lo que pensaste está bien, tenés que hallar la función cambio de variable que transforma la fdp de X en la de Y. La función de cambio de variable es de la forma ![[tex]Y=h(X)[/tex]](images/latex/67fd086c77d3f49dfdd4a34b3066e02bf44eb5b7_0.png "[tex]Y=h(X)[/tex]") y su inversa ![[tex] X=h^{-1}(Y) [/tex]](images/latex/0e66bd90bfd6bf28e18bcaea50ae67569c950a55_0.png "[tex] X=h^{-1}(Y) [/tex]")
Uso el siguiente razonamiento, avisame si no lo entendés porque es importante y te sirve siempre como mecanismo general para trabajar con cambios de variable. Partís de la función de distribución ![[tex] F_Y(y) [/tex]](images/latex/08af1874c29d94f6feed98fbffc8ec41ef5b042c_0.png "[tex] F_Y(y) [/tex]") que es perfectamente conocida porque tenés la de densidad y la conseguís integrando.
![[tex] F_Y(y)=P(Y \leq y )=P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) )=F_X(h^{-1}(y) ) [/tex]](images/latex/0d62301ca2e6fc0c27af2610a20cccb572c6de47_0.png "[tex] F_Y(y)=P(Y \leq y )=P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) )=F_X(h^{-1}(y) ) [/tex]")
Y llegás a la función de distribución de X, que también es perfectamente conocida porque la podés sacar a partir de su fdp. Estás evaluando ahí una función desconocida cuya inversa es la función de cambio de variable. (hay un problema con el sentido de la igualdad, que puede alterarse cuando hago pasaje de términos en la función, pero por ahora me hago el pelotudo jajaj)
Te dejo para vos sacar las funciones de distribución de ambas (ojo que la de y tiene dos tramos). Igualás la de X con las correspondientes a cada uno de los tramos de la de Y y despejás las respectivas funciones incógnita que te va a quedar en función de y. Calculás la inversa (es un despeje sencillo) y obtenés la función de cambio de variable en función de x. Ojo con los intervalos son respecto de x, los obtenés reemplazando los valores en las inversas.
Si no lo visualizás chiflá, suerte!
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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¡Hacé los dibujos de las dos distribuciones!
¡Es crucial!
Ahí vas a ver como es la cosa... o sea, cómo "mandar" valores de X a valores Y.
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El horóscopo del ingeniero es un poco más amplio. Se compone de Amor, Dinero, Salud, Simetría y Linealidad Causa-Efecto.
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Buenas,
Si, entiendo lo que decís pankreas... de hecho, lo había planteado pero supuse que en el caso general la igualdad ![[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) ) [/tex]](images/latex/936fcf47294ec3895d5ba7bdbaeb40811ddd6e4a_0.png "[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) ) [/tex]") podría no tener sentido (¿Que pasa si la inversa no existe? Porque en este caso es "fácil de despejar"... pensé en densidades generalizadas, pero no pude avanzar por ese lado)
En fin, gracias por las rtas!
salutes
Seba.
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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Un comentario acerca de esto último: aún cuando la inversa exista, cabe preguntarse si permanece el sentido de la desigualdad, y qué característica tiene que tener la función ![[tex]h(X)[/tex]](images/latex/c6d70f3d1103fc160cab3e10a04bf4265e09dce5_0.png "[tex]h(X)[/tex]") para que eso suceda.
Saludos!
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| si, yo cuando lo resolvia pensé eso y ahi puse que nos hacemos los boludos jaja lo resolví y si mal no recuerdo ninguna de las dos funciones de cambio cambiaba el signo de la desigualdad
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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bueno de hecho puede ser una condicion que nosotros le queremos imponer y no le jode la vida a nadie 
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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No se trata de una condición que le queramos imponer, sino algo que tenemos que mirar; para que no se vuelva enigmático el asunto, lo que quise decir anteriormente es que para que se cumpla ![[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) )[/tex]](images/latex/a34d8912354d960b3fe0817b69391dbbef7448a8_0.png "[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \leq h^{-1}(y) )[/tex]") , la función tiene que ser monótona creciente en el intervalo en cuestión. Si fuera monótona decreciente, ![[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \ge h^{-1}(y) ) [/tex]](images/latex/9ff666ad63b479520d0ec823df2a0c57f7e99e1d_0.png "[tex] P(h(X) \leq y )=P(X \ge h^{-1}(y) ) [/tex]") . Y si no fuera monótona en ese intervalo, habría que dividir el intervalo original en subintervalos en donde sí lo sea, y en cada uno de ellos proceder como en los dos primeros casos.
Honestamente no me puse a pensar mucho en el problema, pero apoyo lo que dice Fhran, antes que todo hacé un dibujo con las dos distribuciones para ver más o menos cómo viene la mano. Si no sale volvé a preguntar
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Hay dos teoremas (o uno junto) que te ayudan. Si alimentás la FX con la misma variable X resulta una uniforme. Y si alimentás la inversa FY-1 con una uniforme, resulta Y (o una copia de Y, digamos).
O sea, tenés que aplicar eso encontrando la inversa de Y. Para encontrar la inversa, la podés sacar a partir del gráfico (leyendo con los ejes intercambiados; obviamente te va a quedar una inversa a trozos). Por eso Fhran te decía de graficarla.
Como la distribución esta es estrictamente creciente no tenés ninguna cosa rara con el signo.
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Gracias a todos por las respuestas.
Algo para remarcar es que si no se puede encontrar la función de distribución de la v.a. ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]") (por ejemplo si es una gaussiana), el ejercicio se puede resolver de forma numérica con el mismo procedimiento para la simulación de variables aleatorias.
Gracias de nuevo
Saludos,
Seba.
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