| Autor |
Mensaje |
Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
|
|
El ejercicio dice:
Sea X una v.a. a valores {1,2,3} tal que P(X = i) = p_i con i perteneciente a {1,2,3} y con media 2.
a) Halla p_1, p_2, p_3 para que la varianza sea máxima.
Lo que se me ocurrió fue esto:
![[tex]V \left( X \right) =E \left( \left( X-E \left( X \right) \right) ^{2} \right)[/tex]](images/latex/c22a9d91fc0385ae90c61ee2b775b7a59c85c764_0.png "[tex]V \left( X \right) =E \left( \left( X-E \left( X \right) \right) ^{2} \right)[/tex]")
![[tex]E \left( \left( X-2 \right) ^{2} \right) =E \left( {X}^{2} \right) -4[/tex]](images/latex/11ef2ea8e2e9dee2385835e662fdea6167463556_0.png "[tex]E \left( \left( X-2 \right) ^{2} \right) =E \left( {X}^{2} \right) -4[/tex]")
![[tex]V \left( X \right) =p_{{1}}+4\,p_{{2}}+9\,p_{{3}}-4[/tex]](images/latex/ef536ef196c90ac6c68a278d7e02d5b706117c9f_0.png "[tex]V \left( X \right) =p_{{1}}+4\,p_{{2}}+9\,p_{{3}}-4[/tex]")
![[tex]p_{{1}}+p_{{2}}+p_{{3}}=1[/tex]](images/latex/fedeefaa30fcdba68fc759c0f1fdc2fbfd4ab339_0.png "[tex]p_{{1}}+p_{{2}}+p_{{3}}=1[/tex]")
Si ahora llamo x = p_1, y = p_2, z = p_3 tengo que maximizar ésta función: ![[tex]f \left( x,y,z \right) =x+4\,y+9\,z-4[/tex]](images/latex/36005bf3006a8d597e9a6488a7e5119c9185ee01_0.png "[tex]f \left( x,y,z \right) =x+4\,y+9\,z-4[/tex]")
sujeta a ésta restricción: ![[tex]x+y+z=1[/tex]](images/latex/39786862ac4f0e36e62c163b0645810b90ee6d42_0.png "[tex]x+y+z=1[/tex]")
Entonces intento resolver por multiplicadores de Lagrange, armando la siguiente función:
![[tex]F \left( x,y,z,\lambda \right) =x+4\,y+9\,z-4+\lambda \left( x+y+z-1 \right) [/tex]](images/latex/0b88a5184d33837248a62d1e777b4d28878ce26e_0.png "[tex]F \left( x,y,z,\lambda \right) =x+4\,y+9\,z-4+\lambda \left( x+y+z-1 \right) [/tex]")
Ahora es cuándo no entiendo nada...Yo derivo F respecto de cada variable y la igualo a 0 para obtener un sistema de 4 ecuaciones con 4 variables. El problema es que el sistema no tiene solución.
Entonces, estoy planteando bien todo?
Cómo lo harían ustedes?
La verdad que hize análisis 2 hace mucho y no recuerdo del todo el método de multiplicadores de Lagrange.
Saludos!
|
|
|
|
|
|
 |
    |
|
pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
|
|
Ojo que estás calculando (muy) mal la varianza.
![[tex] Var(X)=E((x-E(x))^2)=\sum_{i = 1}^3 (i-E(X))^2 * P(X=i) = p_1 + p_3[/tex]](images/latex/12cd40de96f9a09fa509217dc631908aa1d77e08_0.png "[tex] Var(X)=E((x-E(x))^2)=\sum_{i = 1}^3 (i-E(X))^2 * P(X=i) = p_1 + p_3[/tex]")
Fijate que no depende de ![[tex] p_2 [/tex]](images/latex/b35400ca08d610aba8d43bd94767a64076da8105_0.png "[tex] p_2 [/tex]") , entonces para que sea máxima necesariamente debés establecer ![[tex] p_2=0 [/tex]](images/latex/e69a919ed95f26fc6d8d38254d3e401beb1bab45_0.png "[tex] p_2=0 [/tex]") (ya que si tuviera algún valor no nulo, hay cierta ''cantidad de probabilidad'' que estás desperdiciando, es decir, ''quitando'' a los otros dos que sí tienen un aporte neto a la varianza).
Si , ![[tex] p_1 [/tex]](images/latex/1feeb30e1e868f6710c01422a7291241d60c8ecb_0.png "[tex] p_1 [/tex]") y ![[tex] p_3 [/tex]](images/latex/4b2dfdd311a2a69ca0ca13098d31d87bdcf9d73c_0.png "[tex] p_3 [/tex]") ya tienen valores determinados para cumplir dos condiciones: ![[tex] p_1+3p_3 = 2 [/tex]](images/latex/8cb91fbd7936a25b64fa175f1eeaeeeac9ca0e12_0.png "[tex] p_1+3p_3 = 2 [/tex]") (la media) y ![[tex] p_1+p_3=1 [/tex]](images/latex/4b82dd6e4a56b3f3374e9fc72eaef0d0c9b81eb6_0.png "[tex] p_1+p_3=1 [/tex]") el total de la probabilidad. Resolvés ese pequeño sistema y obtenés los valores.
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
|
|
Por qué estoy calculando mal la varianza?
Si por propiedad se tiene que V(X) = E[X^2] - (E[X])^2
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
|
|
Si, disculpame, lo que vos estabas haciendo no estaba mal, pero no es el camino mas fácil.
Fijate que da lo mismo, la varianza por cualquiera de los dos caminos tiene que ser exactamente igual, elegi la que te convenga: si por uno de los caminos obtenés una expresión que hace que la resolución del ejercicio sea inmediata, usalo. Calculando la esperanza de (x-E(x))^2 obtenes que p1=1/2, p2=0 y p3=1/2 para que el valor de la varianza sea máximo, y dicho valor es 1. Reemplazas estos valores en el calculo de la varianza por la otra vía y te da exactamente lo mismo.
Te ahorraste de tener que hacer un ejercicio tipo parcial de analisis II de extremos ligados usando Lagrange. Si resolviendo un ejercicio de Probabilidad te topás con que tenes que hacer una resolución enrollada del tipo analisis II es que hay una muy alta probabilidad que haya una resolución más simple usando alguna propiedad, o definición, o desarrollo en base a conceptos de la materia.
suerte!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
|
|
Son tres ecuaciones lineales, sin acordarme los multiplicadores de Lagrange y con un poco de álgebra del CBC lo pude probar:
De ahora en más, siguiendo tu notación, ![[tex] p_1=x [/tex]](images/latex/8725ade85c8d161a726d6ffedc512897f076494b_0.png "[tex] p_1=x [/tex]") , ![[tex] p_2=y [/tex]](images/latex/da480b53d95407e2dafe2f7debd612bd46a08a4d_0.png "[tex] p_2=y [/tex]") , ![[tex] p_3=z [/tex]](images/latex/d05e2a99a9989b45fc25abc517c9128972f1a63e_0.png "[tex] p_3=z [/tex]")
Tenemos las siguientes expresiones:
![[tex] x+y+z=1 [/tex]](images/latex/b7cfbc64d79d0210ef830f32c9d718bae0cb0dc7_0.png "[tex] x+y+z=1 [/tex]")
![[tex] x+2y+3z=2 [/tex]](images/latex/b58a4c33ded3f0e98042461a2f0ad1285c6a27fa_0.png "[tex] x+2y+3z=2 [/tex]")
![[tex] x+4y+9z-4=V(X) [/tex]](images/latex/d46097d1a999217999e505ad09792a8437b36848_0.png "[tex] x+4y+9z-4=V(X) [/tex]") (siendo ![[tex] V(X) [/tex]](images/latex/96642d90da356c6d82af10d7a99ecebf6f2d4d90_0.png "[tex] V(X) [/tex]") un real no negativo cuyo valor tiene que ser lo más grande posible)
Armé una matriz ampliada y la triangulé por filas en dos pasos para llegar al sistema equivalente:
(1)
![[tex] y+2z=1 [/tex]](images/latex/4296eb1f6296e6425336e5ae4fbaf0bf2e29682b_0.png "[tex] y+2z=1 [/tex]") (2)
![[tex] 2z=V(X) [/tex]](images/latex/94e19981857f6f55ad44f2337694fcbf3f5d1ddf_0.png "[tex] 2z=V(X) [/tex]") (3)
A ojímetro: La ecuación (3) es la que me correlaciona en forma directa una de mis variables con lo que yo quiero maximizar. Si z es un valor que como máximo puede ser 1, le puedo asignar valor 1 para que V(X) sea máxima y valga 2.
La ecuación (2) me impone una restricción porque si yo quiero que z=1, 'y' tendría que ser negativo, lo cual es incoherente porque no existen probabilidades negativas. Como mínimo y=0, y el máximo valor que le puedo dar a 'z' para que la varianza se maximice es z=1/2.
De (1) forzosamente sale x=1/2.
Fijate la brecha que hay entre hacer este procedimiento, que involucra resolución de un sistema lineal de 3x3, te lleva mas tiempo y no usás casi probabilidad; a sacarlo sabiendo que hay distintas formas de calcular la varianza y que este problema está hecho para que una de esas formas sea la que te salve la vida. Para variar, tramposo, el ejercicio.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
|
|
| |
|
|
|
|
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
