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iguana
Nivel 2
Registrado: 09 Ago 2009
Mensajes: 6
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Estaba intentando hacer unos coloquios del 2006 y me surguieron unas dudas con algunos ejercicios, les dejo los enunciados para ver si peuden darme una mano:
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
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Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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El 1 lo sacas por teorema de la divergencia, lo unico raro es q en vez de "cerrar" la superficie con un plano lo vas a hacer q la superficie q t dan primero, de la cual sabes cuanto da el flujo a traves d ella
2 aparte de dibujar tenes q ver q se t forma cuando reeemplazas x=0 en las ecuaciones para calcular esa area...
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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iguana
Nivel 2
Registrado: 09 Ago 2009
Mensajes: 6
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El problema en el segundo es que cuando reemplazo x=0 me queda primero la circunferencia de radio 2 en zy (acá no ahy problemas), pero después en la otra inecuación queda -z^2 >=1 que pasando en signo del otro lado es z^2 =< -1 (acá me queda que z^2 tiene que ser menor o igual a -1, cosa que es imposible porque está elevado al cuadrado, y eso me dejó desconcertado)
Si alguno encuentra el error que estoy cometiendo por favor hágamelo saber.
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
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Ah...cierto...m acuerdo cuando resolvi ese final m paso lo msimo...a ver...
Lo q hice al final fue despejar ![[tex]x^2=z^2+1[/tex]](images/latex/f37e717260922dddeb958ee894ab5bbe7c8b1703_0.png "[tex]x^2=z^2+1[/tex]") y reemlazarlo en la otra ![[tex]y^2+2z^2=3[/tex]](images/latex/6489a30afa076771f334750d5e5cf98c91509aa7_0.png "[tex]y^2+2z^2=3[/tex]") que es un cilindro...cuya proyeccion sobre el plano x=0 es esa ecuacion..
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MLI + YO
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friedrich
Nivel 9
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1628
Carrera: No especificada
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1.
aclaro que usé "^2[/tex]](images/latex/a51878898eba9c001fdb7b7425b31914ec4aca67_0.png "[tex](2z)^2[/tex]") " en vez de "![[tex]2z^2[/tex]](images/latex/2fbd3ff5760bc8d6b9ca1825682913949f005b6b_0.png "[tex]2z^2[/tex]") " por que quedaba más comodos los números del resultado, sino tenes una raiz de ocho. pero salvo la cuestión numérica debería estar bien el procedimiento. por favor avisen si encuentran errores (marqué con un * los lugares donde pienso que puede haber errores de concepto).
dadas las superficies
![[tex]S_{1}: (x-1)^2 - (y-1)^2 + (2z)^2 = 0 \ ; \ \frac{1}{2} \leq y[/tex]](images/latex/1216f420bf283881fb54ad6c9d93b1377042dc4b_0.png "[tex]S_{1}: (x-1)^2 - (y-1)^2 + (2z)^2 = 0 \ ; \ \frac{1}{2} \leq y[/tex]")
![[tex]S_{2}: (x-1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2 + (2z)^2 = 0 \ ; \ y \leq \frac{1}{2} [/tex]](images/latex/4b0eee276cd13c21148b8d6c3ed8f8277392d324_0.png "[tex]S_{2}: (x-1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2 + (2z)^2 = 0 \ ; \ y \leq \frac{1}{2} [/tex]")
ambas triangulables y orientables, tales que contienen un sólido ![[tex]K[/tex]](images/latex/3c31f3404a91311bb4be7cec9d49bb510d592d34_0.png "[tex]K[/tex]") cuya frontera es la suma de ambas superficies, y siendo que ![[tex]f \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]](images/latex/9f18c092385ff92b5c1ecc3ec2477374714e384a_0.png "[tex]f \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]") es de clase ![[tex]C^1(R^3)[/tex]](images/latex/d06adee1f63936b7c2fd98c137591360e966c4a7_0.png "[tex]C^1(R^3)[/tex]") (obs: clase está incluida en ![[tex]C^3(R^3)[/tex]](images/latex/bba4835ddac8db78340a67f82bd4577f3b165b3a_0.png "[tex]C^3(R^3)[/tex]") ) entonces vale el teorema de gauss, de forma que
![[tex] \iint_{\partial K} \vec{f} \cdot n \, da = \iiint_{K} div(f) \, dV [/tex]](images/latex/19141665e02e09c1da66c3163e83016f650e2cad_0.png "[tex] \iint_{\partial K} \vec{f} \cdot n \, da = \iiint_{K} div(f) \, dV [/tex]")
y siendo que ![[tex]div(f) = 2 [/tex]](images/latex/7a4209f32bb4b69b249b40f292d850fc97c06bb0_0.png "[tex]div(f) = 2 [/tex]") y ![[tex] \partial K = S_{1} + S_{2}[/tex]](images/latex/a7c92c40a1cd0288384936be24f8ec32a2f76439_0.png "[tex] \partial K = S_{1} + S_{2}[/tex]") entonces
![[tex] \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da + \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 \iiint_{K} \, dV [/tex]](images/latex/7e4ae1112feeddc3d2faeb1b327b947211d63393_0.png "[tex] \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da + \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 \iiint_{K} \, dV [/tex]")
![[tex] \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da + \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) [/tex]](images/latex/c09448c97033240ba0c0f49e512c039964c46600_0.png "[tex] \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da + \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) [/tex]")
![[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) - \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da [/tex]](images/latex/768bf619f5aa837fe3acb575a4e63f5ad87fb167_0.png "[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) - \iint_{S_{1}} \vec{f} \cdot n \, da [/tex]")
![[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) - 3 [/tex]](images/latex/bd29aa16c5f5b22743376002d534f7efd928f5ce_0.png "[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = 2 vol(K) - 3 [/tex]") (1)
esto quiere decir que debemos calcular el volumen de . si dividimos en dos sólidos ![[tex]K_{1}[/tex]](images/latex/f2305a4c7307585e6941e3e849d35a10f3c2dc7c_0.png "[tex]K_{1}[/tex]") y ![[tex]K_{2}[/tex]](images/latex/ae6721aac5a13474b8cd5618e0b2dd5ef4e9ff16_0.png "[tex]K_{2}[/tex]") donde corresponden a las la superficies encerradas por ![[tex]S_{1}[/tex]](images/latex/dcaa730dc29dc0e8caee7095a5c8c2628ad8102d_0.png "[tex]S_{1}[/tex]") y ![[tex]S_{2}[/tex]](images/latex/bd4349da1d1cf762697462210c89b88c1623fb37_0.png "[tex]S_{2}[/tex]") respectivamente, vemos que
![[tex]vol(K) = vol(K_{1}) + vol(K_{2}) [/tex]](images/latex/bb678a7aa6d6adf020c863b3c7f886693584e8ca_0.png "[tex]vol(K) = vol(K_{1}) + vol(K_{2}) [/tex]")
y bien para el cálculo del primer volumen, parametrizo al sólido de forma que ![[tex]\varphi \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]](images/latex/cddceec31fa8d7f328cca991b817e80924938c97_0.png "[tex]\varphi \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]") con
![[tex]\varphi_{(\rho,\theta,y)} = ( 1 + \rho \cos \theta , y , \frac{1}{\sqrt(2)} \rho \sen \theta ) \ ; \ 0 \leq \theta \leq \pi \ ; \ 0 \leq \rho \leq ( y - 1) \ ; \ \frac{1}{2} \leq y \leq 1 [/tex]](images/latex/91f3e056439b079c7c31e7162ae53b5c86992e88_0.png "[tex]\varphi_{(\rho,\theta,y)} = ( 1 + \rho \cos \theta , y , \frac{1}{\sqrt(2)} \rho \sen \theta ) \ ; \ 0 \leq \theta \leq \pi \ ; \ 0 \leq \rho \leq ( y - 1) \ ; \ \frac{1}{2} \leq y \leq 1 [/tex]") (*)
y el módulo de la jacobiana de ésta parametrización sería ![[tex]\varrho[/tex]](images/latex/1b81d200c088b2058b728fed14e476420257c7cb_0.png "[tex]\varrho[/tex]") , entonces por el teorema de cambio de coordenadas tenemos
![[tex]vol(K_{1}) = \iiint_{K_{1}} div(f) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{K_{1}} \rho \, d\rho \, d\theta \, dy = \frac{\pi}{24} [/tex]](images/latex/1addc7a85d0bc2d607acc84a173ff1c6e01dd076_0.png "[tex]vol(K_{1}) = \iiint_{K_{1}} div(f) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{K_{1}} \rho \, d\rho \, d\theta \, dy = \frac{\pi}{24} [/tex]") (*)
y además, para el cálculo de volumen de siendo que la fórmula de volumen de un elipsoide es
![[tex]vol(Elipsoide) = \frac{4}{3} \pi a b c [/tex]](images/latex/aa55bdc82753030a45051a9f01050470628c40b7_0.png "[tex]vol(Elipsoide) = \frac{4}{3} \pi a b c [/tex]")
para éste caso tenemos
![[tex] a = \frac{1}{2} [/tex]](images/latex/21906a21d6a489ec1a8b52a0c67f5c5ad70bf918_0.png "[tex] a = \frac{1}{2} [/tex]")
![[tex] b = \frac{1}{2} [/tex]](images/latex/3017722bd60cca84e138c4b0aaf518ad5c91fb94_0.png "[tex] b = \frac{1}{2} [/tex]")
![[tex] c = \frac{1}{8} [/tex]](images/latex/2d78e10f0bd365a3e9f0187a69110df5702e6f17_0.png "[tex] c = \frac{1}{8} [/tex]")
entonces como es mitad de elpisoide,
![[tex]vol(K_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = 2 \frac{\pi}{24} [/tex]](images/latex/918b0aa29efc4977831c8ef7bcc78d49d7e4c2c5_0.png "[tex]vol(K_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = 2 \frac{\pi}{24} [/tex]")
entonces
![[tex]vol(K) = \frac{3}{24} \pi [/tex]](images/latex/ba96ac719b738bcdb4f20f20409fbda9989540f2_0.png "[tex]vol(K) = \frac{3}{24} \pi [/tex]")
luego por (1),
respuesta: ![[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = \frac{1}{4} \pi - 3 [/tex]](images/latex/c4a4cd7ddc540456a7e89902174afa636cf9e872_0.png "[tex] \iint_{S_{2}} \vec{f} \cdot n \, da = \frac{1}{4} \pi - 3 [/tex]")
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eltesso10
Nivel 6
Edad: 35
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gente tengo una gran duda para el final, es para aplicar los teoremas integrales, si por ejemplo me dan la superficie x^2 +y^2 +z^2=4 y me dicen que calcule el flujo en el primer octante, para aplicar Gauss tengo que cerrar con la superficiie con las "tapas" x=0,y=0,z=0??o cuando me dicen primer octante ya lo tomo como un cuerpo cerrado??
si me pueden ayudar graciaaass
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PODRAN IMITARNOS, IGUALARNOS..JAMAS!
Jdor Nº12
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Solcito
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Edad: 36
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Carrera: Informática
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Yo en el 2 lo que hice fue despejar x^2 = 4 - y^2 - z^2
entonces 4 - y^2 - 2 z^2 >= 1
y de ahi saco los limites de integraciòn
-((3 - y^2)/2)^1/2 <= Z <= ( (3 - y^2)/2 )^1/2
-((3)^1/2) <= Y <= (3)^1/2
No se si es lo mismo hacer esto o lo q dijeron mas arriba, ni se cual de las dos formas esta bien...
A mi asi me dio 3pi / raìz(2)
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brunojm
Nivel 6
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| como llegaste a esos limites de la y? a ver que me da..
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Solcito
Nivel 5
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Ubicación: Lanús
Carrera: Informática
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| (3 - y^2)/2 >=0 (xq estan dentro de la raìz...
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