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Mensaje |
CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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A ver gente si pueden con este
Me tiene realmente desconcertado, porq lo q tengo q extremar es ![[tex]h(x,y)[/tex]](images/latex/de537f6016f5429febab0aabed9df9c36bb4d8b0_0.png "[tex]h(x,y)[/tex]") pero para mi vale siempre 0 ya q pertenece a I q es la interseccion del cilindro con el plano z=0
q opinan?
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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Lean!
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 30 Jun 2009
Mensajes: 17
Ubicación: la estratosfera
Carrera: Química
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No, no mira. Yo lo estoy empezando a intentar a hacer, descifrando el choclo del enunciado... Lo que pude entender hasta ahora es que h(x,y) es un campo escalar de R2 en R, sin aclararte bien como es la función en forma directa, pero te dicen que cada z=h(x,y) pertenece al plano pi. Yo lo entiendo como que en definitiva h es la proyección de la circunferencia sobre el plano inclinado, o la intersección entre el plano y el cilindro. Y de todos los punto de la elipse que te queda ver cual es el mayor.
Ahora intento resolverlo, no se si se entendió, es como que la idea la tengo clara pero me cuesta explicarla!
Saludos
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Lean!
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 30 Jun 2009
Mensajes: 17
Ubicación: la estratosfera
Carrera: Química
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Ahí ta lo hice:
la ecuación del plano PI tangente a S queda:
z=4y-4;
con lo cual queda h(x,y)=4y-4, con el dominio definido en la circunferencia C. Parametrizo la elipse (x,y,h(x,y)):
a(t)=(cos(t),sen(t)+2,4(sen(t)+2)-4)
entonces
a'(t)=(-sen(t),cos(t),4cos(t))
Como interesa encontrar el máximo valor de la coordenada z (es decir, de h(x,y)), busco los puntos críticos en que se anula la componente z de a'(t):
t=pi/2; t=(3/2)pi;
Reemplazas en a(t) y encontrás que para t=pi/2, h(x,y) es máximo (en el otro t es mínimo), el punto máximo es entonces el (0,3, .
Espero que haya servido, creo que está bien y cumple con todo lo pedido...
Saludos
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Lean!
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 30 Jun 2009
Mensajes: 17
Ubicación: la estratosfera
Carrera: Química
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| donde aparecio el emoticon va el numero 8 jeje
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brunojm
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 250
Ubicación: De vez en cuando
Carrera: Civil
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| me perdi como sacaste la ec del plano y la parametrizacion..creo que hice cualquier gansada y no me da jaja..que hiciste?
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Lean!
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 30 Jun 2009
Mensajes: 17
Ubicación: la estratosfera
Carrera: Química
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El plano PI es tangente al paraboloide S en el punto (0,2,4). La ecuación del plano tangente a la gráfica de una función es:
z=f(a,b)+[df/dx(a,b)](x-a)+[df/dy(a,b)](y-b)
En esta ecuación genérica reemplazás (a,b,f(a,b))=(0,2,4). Y calculás las derivadas parciales de la función del paraboloide.
Para la parametrización de la curva:
en las dos primeras coordenadas parametrizas la circunferencia tal como está, desplazada: x=cos(t);y=sen(t)+2 (porq el eje vertical pasaba por el (0,2,0)), a la coordenada z la despejo en función de y a partir de la ecuación del plano que daba z=4y-4. A su vez a y ya lo parametricé en función de t, con lo que me queda z=4y-4=4(sen(t)+2)-4.
Saludos
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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friedrich
Nivel 9
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1628
Carrera: No especificada
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lo primero que hice fue parametrizar S mediante una función g: R2 -> R3 (debe haber formas más faciles de sacar el plano tangente, pero me acostumbre a parametrizar)
S : g(x,y) = (x , y , x^2 + y^2 )
después busque el vector normal n generico
g'x(x,y) = ( 1 , 0 , 2x )
g'y(x,y) = ( 0 , 1 , 2y )
y el producto cruz entre ellos me da ese vector normal que depende de x e y.
n(x,y) = ( -2x , -2y , 1 )
observar que g(0,2) = ( 0 , 2 , 4 ) que es el punto de R3 en el que estamos buscando el plano tangente a S. evaluamos n en el punto (0,2)
n(0,2) = ( 0 , -4 , 1 )
si ese es también el vector normal al plano, que además pasa por el punto ( 0 , 2 , 4 ) entonces nuestro plano Pi está dado por
( x , y , z ) ( 0 , -4 , 1 ) = ( 0 , 2 , 4 ) ( 0 , -4 , 1 )
Pi : -4y + z = -4 (1)
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además teniamos que C era ese cilindro del enunciado, yo lo parametrizé con cilindricas de la siguiente manera, mediante una función u : R2 -> R3
C : u(t,z) = ( cos(t) , 2 + sen(t) , z )
si intersectamos C con el plano z = 0 entonces
u(t,0) = ( cos(t) , 2 + sen(t) , 0 )
que es la parametrización de la circunferencia I
cuando nos dicen "para cada (x,y) pertenecientes a I" supongo yo que nos dicen (x,y,z) ya que I pertenece al espacio R3
si nos dicen "para cada (x,y) en I : ( x , y , h(x,y) ) pertenece a Pi", esto quiere decir que la proyección en el plano z = 0 de este conjunto de puntos que nos están mencionando es la circunferencia I
además, de la cita anterior se deduce que, dado el plano (1) tenemos que
-4y + z = -4
z = 4y - 4
entonces si los puntos cartesianos ( x , y , h(x,y) ) están incluídos en el plano, al parecer tienen la forma:
( x , y , 4y - 4 )
donde la coordenada z de esos puntos (su "altura") sería la función h(x,y).
al parecer, h(x,y) = 4y - 4
pero como (x,y) está restringido a I, es decir
(x,y) = ( cos(t) , 2 + sen(t) )
entonces
h(cos(t),2+sen(t)) = 8 + 4 sen(t) - 4
h(x(t),y(t)) = 4 + 4 sen(t)
la llamo: k(t) = 4 + 4 sen(t)
que es la expresión de la curva restringida al dominio cuyos puntos (x,y) pertenecen a aquellos (x,y,z) en I.
ahora para observar los puntos críticos, como es de una sola variable, derivamos una vez
k'(t) = 4 cos(t)
donde k'(t) = 0 si y solo si t = (n+1/2) . pi
con n = 0, +- 1 , +- 2 ...
como en este caso t varía entre 0 y 2 pi (ya que cierra una vuelta) tenemos que los puntos críticos son
t = 1/2 pi y t = 3/2 pi
en nuestro caso son el máximo y el minimo respectivamente, y esto puede comprobarse de forma gráfica ya que el elipse cirunscripto en el plano Pi de normal ( 0 , -4 , 1 ) alcanzará su máximo en el punto tal que su coordenada y sea la máxima, y el mínimo en el cual su coordenada y sea la mínima (ya que el plano "crece" a medida que crece la coordenada y). para esto sería super util un gráfico.
entonces nuestro máximo para el cual t = 1/2 pi es:
max : ( cos(1/2 pi) , 2 + sen(1/2 pi) , k(1/2 pi) )
luego la solución debería ser ( 0 , 3 , 8 )
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