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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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| sabian escribió:
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¿ Si existe el plano tangente en el punto no implica que exista el polinomio de Taylor de orden 1 en el punto?
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Hola.
Una función como ![[tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]](images/latex/25419cb4f9cceb43d94f696cb21d28e862cf3b7b_0.png "[tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]") , cuyo gráfico en el [/tex]](images/latex/583815add73f267127a35e3c388acead6b75ce4b_0.png "[tex](0,0)[/tex]") posee como recta tangente tangente a ![[tex]\{(x,y) \in R^2 : x = 0\}[/tex]](images/latex/7c9204fbaf5ed74553008dcdf29b4895ee7ed063_0.png "[tex]\{(x,y) \in R^2 : x = 0\}[/tex]") (es decir una recta vertical), sin embargo no admite desarrollo de Taylor de orden ![[tex]1[/tex]](images/latex/0d42976238de0a06e86d9145d61c6e5316420b70_0.png "[tex]1[/tex]") en ![[tex]x = 0[/tex]](images/latex/3fc5017f094c888021acacc8ad8662850ac8a1e7_0.png "[tex]x = 0[/tex]") .
También una curva como ![[tex]\{ (x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 = 1\}[/tex]](images/latex/eab893c1bb7950c7f246716e9e355da506ae50fe_0.png "[tex]\{ (x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 = 1\}[/tex]") admite rectas tangentes en todos sus puntos; pero hablar sobre su desarrollo de Taylor no tiene demasiado sentido (aunque uno se las puede rebuscar para que lo tenga).
| eugenio escribió:
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No es así, Don Equis.
Si el polinomio de Taylor de orden 1 existe, entonces es la ecuación del plano tangente. Y se está hablando de lo mismo. Cuando nos referimos a conjuntos infinitos o funciones estamos hablando de estructuras algebraicas, siendo las funciones, un caso particular de conjuntos infinitos.
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Como ya mencioné anteriormente. El plano tangente es un conjunto, mientras que el polinomio de Taylor es una función (que no son la misma cosa). Sí puede ser que la ecuación ![[tex]z = p(x)[/tex]](images/latex/131592c2292bc084925b0c40eef757e319eb99ce_0.png "[tex]z = p(x)[/tex]") , donde ![[tex]p(x)[/tex]](images/latex/3cbdfc5350cdc239abc3c7cd762d12f58bd213ce_0.png "[tex]p(x)[/tex]") es el desarrollo de Taylor de orden , sea la ecuación de un plano tangente (y he aquí la íntima relación entre ambos conceptos). Pero no son la misma cosa.
Saludos.
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
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Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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| A ver...mas alla de si son o no exactamente la misma cosa (uno un conjunto d puntos y el otro una funcion) se puede pasar d uno a otro?o sea si m dan el plano tg trabajarlo como si fuera un polinomio de taylor pa encontrar las derivadas direccionales de la funcion original derivando?
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Hola.
En general, si tenés el plano tangente podés construirte el polinomio de Taylor. Si el polinomio de Taylor de orden 1 de una función es ![[tex]p(x,y)[/tex]](images/latex/b76124fbad3d8e971a3c709d9a26073d436c20fd_0.png "[tex]p(x,y)[/tex]") , entonces la ecuación ![[tex]z = p(x,y)[/tex]](images/latex/b504c5f198bdbdcc0e8ca147d69c2d842a3acd0e_0.png "[tex]z = p(x,y)[/tex]") es la ecuación al plano tangente al gráfico de la función.
Ejemplo:
Te dan una función ![[tex]f:R^2 \rightarrow R[/tex]](images/latex/f5723c6a70c327e23ed16532fea81ca34ecd1b0a_0.png "[tex]f:R^2 \rightarrow R[/tex]") y te dicen que en el punto )[/tex]](images/latex/ca9bb9c896636aa63b81a60901583f78f6a7d0eb_0.png "[tex](x_0,y_0,f(x_0,y_0))[/tex]") el plano tangente al gráfico de la función es ![[tex]ax + by + cz = d[/tex]](images/latex/e9348f1e9fd397db8f24ca8cebb1bec08870c222_0.png "[tex]ax + by + cz = d[/tex]") . Nos piden hallar las derivadas parciales y el valor de la función en el punto a partir del polinomio de Taylor.
¿Cómo podemos proceder? (Siempre y cuando ![[tex]c[/tex]](images/latex/be9c3d50f54aca031d819fbe4d05ca6feeac5106_0.png "[tex]c[/tex]") no sea nulo)
Despejando ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") en la ecuación, nos queda que
![[tex]z = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y + \frac{d}{c}[/tex]](images/latex/18fc6d227333013655cd70f0cd95e85fb60b9744_0.png "[tex]z = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y + \frac{d}{c}[/tex]")
De donde ![[tex]p(x,y) = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y + \frac{d}{c}[/tex]](images/latex/03561c39fbd6548a51d6f0a1e1ea291d1228ee54_0.png "[tex]p(x,y) = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y + \frac{d}{c}[/tex]") .
Ojo que en esta expresión el polinomio no está expresado en la forma
![[tex]p(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) + f(x_0,y_0)[/tex]](images/latex/34dbd2a64703544e9f5520529b455989192c756a_0.png "[tex]p(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) + f(x_0,y_0)[/tex]")
Sino como:
![[tex]p(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)y +[ - \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)x_0 - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)y_0 + f(x_0,y_0)][/tex]](images/latex/60f5e7bb895e698b5570d840498cf0054c115f6a_0.png "[tex]p(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)y +[ - \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)x_0 - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)y_0 + f(x_0,y_0)][/tex]")
Por lo que se puede ver que
![[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = -\frac{a}{c}[/tex]](images/latex/a6f71634c8e4994e80688c26d094a7c220b01cd1_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = -\frac{a}{c}[/tex]")
![[tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{b}{c}[/tex]](images/latex/9bb705539add1ea348ac43b8d6cea29894f92cfd_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{b}{c}[/tex]")
![[tex]f(x_0,y_0) = p(x_0,y_0)[/tex]](images/latex/f1f50dd49bd0dced96da80ff36febebbe8ed87e4_0.png "[tex]f(x_0,y_0) = p(x_0,y_0)[/tex]")
Saludos.
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Agrego que me olvidé.
Para hallar las derivadas direccionales podemos proceder de la siguiente forma:
Ya sabemos que ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") es diferenciable y por lo anterior ya podemos conocer sus derivadas parciales, por lo que las derivadas direccionales quedarían:
![[tex]\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x_0,y_0) = ( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)) \cdot \vec{v} [/tex]](images/latex/d7ec03cf11ffee72f991f864187cb4139c61134c_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x_0,y_0) = ( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)) \cdot \vec{v} [/tex]")
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Me meto para agregar, donde v, tiene que ser un vector unitario que represente la dirección.
Por ahi te puede ser util saber que ![[tex]D_u f(x_0,y_0) = - D_{-u} f(x_0,y_0)[/tex]](images/latex/f6a5b3083e735656487dabc48d9bdf60c6dac44b_0.png "[tex]D_u f(x_0,y_0) = - D_{-u} f(x_0,y_0)[/tex]") porque te veo medio perdido con derivadas direccionales.
Saludos, buen aporte el de Don Equis aclarando el tema. Si es que lo entendi lo que quiso decir es que el plano tangente y el polinomio de Taylor no necesariamente están en la misma dimensión (es decir, uno puede ser función en ese espacio y otro solo una relación).
Lo que no entendí es como la existencia de plano tangente (no de recta) no garantiza la existencia del polinomio de Taylor de orden 1.
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
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Carrera: No especificada
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Hola.
Mi PC parece andar teniendo todo tipo de virus por lo que perdí la respuesta original.
De forma análoga al ejemplo de ![[tex]R^2\rightarrow R[/tex]](images/latex/ac75b8941ad7d45d0870b3799b1ee78f390689af_0.png "[tex]R^2\rightarrow R[/tex]") se puede definir la función:
![[tex]f(x,y) = \sqrt[3]{x}[/tex]](images/latex/cf0853ae1aeec31e67d8c2958bdd18008440185c_0.png "[tex]f(x,y) = \sqrt[3]{x}[/tex]")
El gráfico de esta función posee un plano tangente dado por la ecuación ![[tex]\Pi: ax = 0[/tex]](images/latex/333b730cbd06d081310e4a5f5bb252be0862670e_0.png "[tex]\Pi: ax = 0[/tex]") con ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") no nulo. Si uno expresara este plano tangente en la forma ![[tex]ax+by+cz = d[/tex]](images/latex/de01e20d12df79139b34fffcbec8e84e961db4bf_0.png "[tex]ax+by+cz = d[/tex]") , resultaría que ![[tex]c=0[/tex]](images/latex/64842a0996e2c7c8d13ecfeed3c149b1364596c5_0.png "[tex]c=0[/tex]") . Siempre que esto ocurra, la función original no admitirá desarrollo de Taylor.
Si uno observa la gráfica de la función, se encontraría con que el plano es "vertical". Esto se puede cuando se define la derivada infinita de una función. Esta se podría definir de la siguiente forma (para funciones de una variable):
Sea continua en un punto ![[tex]x_0[/tex]](images/latex/7ef23f0c8cf9c8c002fc6586c23f8179f8cafea1_0.png "[tex]x_0[/tex]") y si el límite ![[tex]Abs\left ({\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \right)[/tex]](images/latex/6fd8c4389e78edf26fc895e62ff5da8f05a55882_0.png "[tex]Abs\left ({\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \right)[/tex]") diverge a infinito cuando ![[tex]x \longrightarrow x_0[/tex]](images/latex/b0304605510b69f26a073e72196d6e32dca2abc0_0.png "[tex]x \longrightarrow x_0[/tex]") , entonces ![[tex]f'[/tex]](images/latex/8a03bb4188b265c248a71cccde2ce91677c6f966_0.png "[tex]f'[/tex]") toma tal valor en el punto.
Aceptando esto, la existencia de la recta tangente es equivalente a la derivabilidad. Sin esta definición, una función podría tener recta tangente en un punto y no ser derivable (como el ejemplo dado). Ahora esto ya no puede ocurrir, pero tenemos el costo de que ciertas funciones feas tengan derivada (e.g. ![[tex]f(x) = Abs(\sqrt[3]{x})[/tex]](images/latex/997468912a300ee650de4bcadf1104285d555726_0.png "[tex]f(x) = Abs(\sqrt[3]{x})[/tex]") ). Se podría discriminar por los signos de los infinitos para salvarnos de estos casos, pero perderíamos la equivalencia de las proposiciones.
Algo análogo se podría hacer para funciones de más variables, pero se vuelve más complicado.
La cuestión es que una función admite desarrollo de Taylor de orden 1 si y sólo si tiene derivada finita (hecho que, a pesar de todo, ya conocíamos). La cuestión está es que la existencia de recta tangente no implica que la función tenga derivada finita. En las funciones de más variables pasa lo mismo, la existencia de plano tangente a la gráfica de una función no implica que la función sea diferenciable. Sin embargo, cuando la función sí es diferenciable, entonces el polinomio de Taylor existe y tal polinomio sirve para definir el plano tangente.
El tema es que cuando uno define el plano tangente a una superficie, quiere que una esfera, por citar un ejemplo, tenga plano tangente en todos sus puntos. Y la esfera no es gráfico de ninguna función: por lo que es esperable que existan casos patológicos existan. Esforzarse para salvarlos es bastante más rebuscado que aceptarlos y laburar con ellos.
Espero que haya quedado claro.
Saludos.
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Clarisimo. Supuse que se podria generalizar el caso de la recta una dimensión más, pero no lo veía del todo claro.
Muchas gracias Don Equis.
P.D: ¿ Que estudia? ¿ Física?
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Hola.
De nada, sabian. Es un placer poder ayudar.
Estudio matemática en la UBA. También intento hacer física, pero soy realmente malo en esta carrera y además le dedico muy poco tiempo.
¿Vos qué estudiás?
Saludos.
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Cihn
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 27 Feb 2008
Mensajes: 105
Carrera: Química
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Don Equis, muy buen la explicación!
Digamos que me entró la duda también cuando leí el topic XD
Off: Vos cursás la materia de Fava?
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"Das, was man sich vorstellt, braucht man nie zu verhein"
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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No dije que planos y funciones lineales fueran la misma cosa. Quise decir que las funciones del tipo z = ax + by + c son casos particulares de planos que son un conjunto que contienen a las funciones lineales. Las funciones lineales serían subconjuntos de este conjunto más general.
En base a eso, lo que dijo el que inauguró el thread es perfectamente válido. El polinomio de taylor de grado 1 (si existe) es el plano tangente.
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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| Don Equis escribió:
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Hola.
De nada, sabian. Es un placer poder ayudar.
Estudio matemática en la UBA. También intento hacer física, pero soy realmente malo en esta carrera y además le dedico muy poco tiempo.
¿Vos qué estudiás?
Saludos.
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Estoy un par de escalones más abajo. Estudio Geofísica (también estoy de colado acá, pero me interesó el foro). Aunque la matemática la vemos con los estudiantes de Lic. en Matemática y veo que en la UBA (o al menos en ingeniería por lo que leí acá) se da muy distinto. Me pierdo a veces entre el palabrerío, un poco por bruto otro poco porque siempre algún concepto con otro nombre aparece.
Saludos
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