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Mensaje |
7oro
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 14 Ene 2008
Mensajes: 13
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Industrial
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hola gente
después de revisar un par de libros me surgieron algunas dudas. a ver si me pueden ayudar...
según el apostol:
si F es un campo vectorial diferenciable en un conjunto abierto CONVEXO de R^n: la igualdad de sus derivadas parciales primeras mixtas me garantiza que es un campo de gradientes.
según el mardsen-tromba:
si F es un campo vectorial de clase C1 definido en R^3 excepto, quizás, en un número finito de puntos: la igualdad de sus derivadas parciales primeras mixtas me garantiza que es un campo de gradientes. Si F es de R^2 no puede haber puntos excepcionales.
preguntas:
1.- por qué el apostol pide sólo diferenciable y el tromba pide de clase 1?
2.- por qué el tromba no permite que F no esté definido en algun punto del plano?
3.- si bien el tromba siempre trabaja con n<=3 y el apostol con R^n, por qué tromba en el espacio permite que en un numero finito de puntos F no esté definido mientras que el apostol pide que F sea diferenciable en un conjunto abierto CONVEXO? Se supone que los conjuntos convexos no tienen agujeros ni pueden rodear un "agujero" sin incluirlo. En esto último particularmente se contradicen y sin embargo ambos argumentos son condiciones suficientes para que F sea un campo de gradientes.
Lo mas raro es que el tromba en un pie de página aclara que el otro argumento (el que usó apostol) es igualmente condición suficiente, aunque mantiene la exigencia de que F sea de clase 1.
tirenme una soga porfa!
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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| 7oro escribió:
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1.- por qué el apostol pide sólo diferenciable y el tromba pide de clase 1?
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Para este caso, viene siendo lo mismo. Al decir que sea de clase C1, está pidiendo que sea diferenciable "una vez"; mientras que el que dice sólo diferenciable digamos que aclara menos, pero porque en definitiva lo que te interesa buscar son sólo las derivadas parciales primeras (no te importa si es diferenciable más veces o no).
Antes de TRATAR de responder las otras preguntas:
No sé si es por la traducción de los libros o qué, pero lo que se pide es que los dominios sean "arco-conexos" ó "simplemente conexos" (no convexos).
Dicho muy informalmente (como practicamente todo lo que voy a decir): un dominio es arco-conexo si para todo par de puntos en él, existe una curva tal que sus extremos inicial y final coinciden con dichos puntos; es decir, que todo par de puntos en el dominio lo podés unir por una curva (por ejemplo, si a R^2 le "sacás" el eje Y, no es arco-conexo).
Un dominio (arco-conexo) es Simplemente Conexo si todo circuito se puede contraer continuamente a un punto en el dominio (Ej: R^2 sin el (0;0) es arco-conexo, pero NO simplemente conexo).
Para que la igualdad de derivadas parciales primeras mixtas GARANTICE que la función es un campo de gradientes, el dominio DEBE ser Simplemente Conexo.
| 7oro escribió:
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2.- por qué el tromba no permite que F no esté definido en algun punto del plano?
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Esto tiene que ver con la condición de dominio simplemente conexo que puse arriba. Por decirlo de alguna forma, en R^2, el dominio NO puede tener "interrupciones" ó "agujeros". Con un sólo punto en el que F no esté definida, ya el dominio deja de ser simplemente conexo (siempre hablando del plano). No hay que interpretar como que sí o sí tiene que ser todo R^2, puede ser por ejemplo un disco en R^2, pero F tiene que estar definida en todos los puntos de ese disco.
En R^3 sí puede haber puntos excepcionales, porque al estar trabajando en una dimensión más algunas "interrupciones" pueden "evitarse" de modo que el dominio siga siendo simplemente conexo.
| 7oro escribió:
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3.- si bien el tromba siempre trabaja con n<=3 y el apostol con R^n, por qué tromba en el espacio permite que en un numero finito de puntos F no esté definido mientras que el apostol pide que F sea diferenciable en un conjunto abierto CONVEXO? Se supone que los conjuntos convexos no tienen agujeros ni pueden rodear un "agujero" sin incluirlo. En esto último particularmente se contradicen y sin embargo ambos argumentos son condiciones suficientes para que F sea un campo de gradientes.
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En la definición del apostol, donde escribiste convexo entiendo que se refiere a un dominio con las características de lo que yo menciono como "simplemente conexo" (por ahí lo nombran de otra forma pero es lo mismo, habría que cerciorarse). Considerando eso, y que la aclaración mencionada en el Tromba se encuentra dentro de la definición de "simplemente conexo", el Apostol no tiene necesidad de especificar nada más.
Bueno espero que se entienda algo.
Saludos
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7oro
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 14 Ene 2008
Mensajes: 13
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Industrial
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es tal cual como vos decís. lo acabo de confirmar con el courant-fritz. no entiendo como los otros libros pueden prestar confusión...
gracias! 
saludos.
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7oro
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 14 Ene 2008
Mensajes: 13
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Industrial
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creo que no termino de entender, me surge esta pregunta:
si tuviera una discontinuidad en R^3 en un punto incluido en el interior del subconjunto formado por una curva cerrada plana como puedo contraer el circuito de manera continua? siempre pasaría por el punto... sería como trabajar en R^2 ya que en realidad estoy sobre un plano... entonces no puedo considerar curvas planas, no?
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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Lo importante es el Dominio de la función. Si ese dominio está conmtenido en R^3 pero "él" es un plano, tiene las limitaciones de R^2.
Siempre tenés que evaluar cómo es el dominio más allá de dónde esté contenido.
No sé si tu duda vendrá por lo que voy a decir, pero no te confundas la imagen de la función con el dominio, o sea, aunque la función sea una curva cerrada plana (como vos decís) el dominio puede ser todo R^3 ó algo contenido en R^3 que cumpla las condiciones de Simplemente Conexo.
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