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-srv-
Nivel 2
Registrado: 04 Ago 2008
Mensajes: 19
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buenas...tengo un ejercicio que saque de un final de mi facultad que creo yo deberia resolverse por cambio de variables.
dice asi:
X es una va.aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo [-2,3]
y W=exp(-X)
calcular la funcion de densidad de W.
YO LO RESOLVI MASOMENOS ASI:
f(x)=1/5 para cualquier x del intervalo (fdp de la uniforme)
w(x)=exp(-X) dw/dx=-exp(-X)
la derivada es siempre creciente y no se hace 0
despejando w de w(x) -> x=-ln(w)
f(w)= f(x) / valorabsoluto(dw/dx) (formula para el cambio de variables)
entonces f(w)=(1/5)/exp(-x) = (1/5)/exp(ln(w)) = (1/5)/w = 1/5w
RESULTADO FINAL
f(w)=1/5w para cualquier w en el intervalo exp(2) .. exp(-3)
sinceramente esto del cambio de variables todabia no lo entiendo mucho asi que es de esperar que este mal el ejercicio, pero intente hacerlo.
desde ya muchas graciass
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-srv-
Nivel 2
Registrado: 04 Ago 2008
Mensajes: 19
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arreglo una cosa que esta mal, porque yo habia entendido mal la formula que esta en el libro de zylberberg.
a lo ultimo donde dice
f(w)= f(x) / valorabsoluto(dw/dx) (formula para el cambio de variables)
en realidad no es valorabsoluto(dw/dx) y queda :
entonces f(w)=(1/5)/exp(-x) = (1/5)/-exp(ln(w)) = (1/5)/-w = -1/5w
RESULTADO FINAL
f(w)=-1/5w para cualquier w en el intervalo exp(2) .. exp(-3)
y ya que estamos pongo otra forma de resolverlo que es la que se me habia ocurrido primero y que recien me fije y esta bien resolverlo asi, lo unico que me queda es confirmar el resultado.
es sacando la distribucion acumulada y despues derivar para conseguir la funcion de densidad:
sea X una v.a con dist uniforme en -2,3 -> f(x)=1/5 para todo x en -2,3
e Y=exp(-X)
F(y)= P(Y<=y) = P(exp(-X)<=y) = P(-X<=ln(y)) = P(X<=-ln(y))
cuando -ln(y) esta entre -2 y 3 entonces la dist. acumulada de x entre -2 y -ln(y) es la integral entre -2 y -ln(y) de 1/5dx que te queda:
(1/5)*(-ln(y)) + 2 , esta seria la dist. acumulada F(y)
para sacar la fdp derivo eso y me queda -1/5y que es lo que me habia quedado antes asi que de una u otra forma tiene que estar bien!!
jajaj
bueno espero que alguien me tire algun dato a ver si le erre en algo .
saludosss
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IgnacioB
Nivel 5
Registrado: 27 Ago 2007
Mensajes: 191
Carrera: Civil
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La fórmula para el cambio de variable sí es con valor absoluto.
En la segunda resolución que das, pasás un -1 sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Fijate que en el resultado te queda
RESULTADO FINAL
f(w)=-1/5w para cualquier w en el intervalo exp(2) .. exp(-3)
para esos w, estaría quedándote una f negativa, que no puede ser.
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-srv-
Nivel 2
Registrado: 04 Ago 2008
Mensajes: 19
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| IgnacioB escribió:
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La fórmula para el cambio de variable sí es con valor absoluto.
En la segunda resolución que das, pasás un -1 sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Fijate que en el resultado te queda
RESULTADO FINAL
f(w)=-1/5w para cualquier w en el intervalo exp(2) .. exp(-3)
para esos w, estaría quedándote una f negativa, que no puede ser.
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hola,mil gracias por la ayuda, vi tu respuesta ayer y estuve revisando el capitulo de cambio de variables del libro de zylberberg, lo del valo absoluto es asi como decis, yo lo habia entendido muy mal. lo de la f(x) tambien tenes razon, no se como no me di cuenta que te quedaba negativa , creo que si le ponia una f(x) negativa me ponian 1 y con todo derecho, muy burro de mi parte.
en fin como cambia el sentido de la desigualdad entonces F(y) pasa a a ser 1 - P(X<=-ln(y)) y siguiendo los mismos pasos que antes, derivando te queda que f(x) es 1/5y lo mismo te queda en el 1ero cuando usas valor absoluto de la derivada.
ahora si creo que quedo bien.
saludos y gracias nuevamente
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