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Tavo
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 05 Mar 2006
Mensajes: 10
Ubicación: Gral.San Martín
Carrera: Informática
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Estoy preparando el final de Numérico y la verdad que no entiendo como calcular la estabilidad de los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. Por ejemplo el ejercicio 2 de:
http://www.fi.uba.ar/materias/7512/guias/guia08-ValoresIniciales.pdf
En el libro de Gonzalez mencionan que si es lipschitziana, es estable, pero en ese caso no se probar que es lipschiziana ni sacar el valor de la constante de Lipschitz.
Para que lo sea debe cumplir:
Después en ese mismo libro hace un despeje utilizando el método euler en vez de ![[tex]U_n[/tex]](images/latex/f3b0a7b7de8284c5468d33e5bd8bfe451b55c5fe_0.png "[tex]U_n[/tex]") , poniendo ![[tex]U_n + E_n[/tex]](images/latex/298ee1b16a65f11813fd13ff0e562546edc685ac_0.png "[tex]U_n + E_n[/tex]") y llegar a algo parecido a:
Siendo estables aquellos casos cuyo  )[/tex]](images/latex/4a64114c53e18e5a73fe1b4ce23385bd55feedbe_0.png "[tex]( 1 + O(h) )[/tex]") sea igual a 1 y son "fuertemente estables" en los que es menor a 1 (y por ende el error disminuye a cada paso, sin importar el h)
Bueno esa es la teoría que sé, pero no supe aplicarlo a los ejercicios de la guía 8 (la del link de arriba). Si pueden explicarme con el ejercicio 2, al menos, estaré muy agradecido!
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Rada
Moderador
Edad: 37
Registrado: 10 Abr 2006
Mensajes: 2728
Ubicación: Caballito
Carrera: Informática
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Tavo
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 05 Mar 2006
Mensajes: 10
Ubicación: Gral.San Martín
Carrera: Informática
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Hoy estube probando y pude sacar la estabilidad cuando tengo una ecuación lineal como:
![[tex]y' = y[/tex]](images/latex/b9c8ece7486f15e9f6aa2743f2928eaca60b1640_0.png "[tex]y' = y[/tex]")
pero si tengo algo como en el ejercicio 2 :
![[tex]y' = y^2[/tex]](images/latex/8b075bda3178d86aa3f4193a7b43b7e23947b738_0.png "[tex]y' = y^2[/tex]")
me queda un sin poder eliminar de la fórmula y la fórmula del error depende también del valor de la función en ese punto. Igual en clase no recuerdo haber visto un ejemplo así, pero en la guía lo piden. El lunes me pasaré por la biblioteca de la fiuba a ver si puedo aclarar mis dudas. Pueden recomendarme algún libro para este tema?
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Rada
Moderador
Edad: 37
Registrado: 10 Abr 2006
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Polta
Nivel 3
Edad: 46
Registrado: 28 Dic 2006
Mensajes: 47
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Civil
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Tavo: el truco está en cancelar los términos con perturbaciones elevadas al cuadrado. Como las perturbaciones son muy pequeñas comparadas con Un, los términos que contengan perturbaciones multiplicadas entre sí serán mucho menores a los demás y pueden cancelarse.
Para el ejercicio 2 de la guía:
La ecuación diferencial a discretizar es:
dU/dt = U^2
Discretizando:
Un+1 = Un + h Un^2
Para evaluar la estabilidad, utilizamos el método de las perturbaciones. Perturbamos cada valor de U con su correspondiente epsilon (E):
Un+1 + En+1 = Un + En + h (Un + En)^2
Desarrollando el cuadrado:
Un+1 + En+1 = Un + En + h (Un^2 + 2 Un En + En^2)
Despreciamos el término En^2 y nos queda:
Un+1 + En+1 = Un + En + h (Un^2 + 2 Un En)
Distribuimos:
Un+1 + En+1 = Un + En + h Un^2 + 2 h Un En
Recordando la ecuación en diferencias Un+1 = Un + h Un^2, simplificamos a ambos lados:
En+1 = En + 2 h Un En
Sacando factor común:
En+1 = En (1 + 2 h Un)
Pasamos dividiendo En:
En+1 / En = 1 + 2 h Un
Decimos que un problema es estable cuando |En+1/En| < 1. Entonces imponemos:
|En+1 / En| = |1 + 2 h Un| <1> 0, la inecuación de arriba nunca puede cumplirse dado que |1 + 2 h Un| nunca puede ser menor a uno. Por ende, el problema es inestable.
Espero haber sido de utilidad. Saludos!
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Polta
Nivel 3
Edad: 46
Registrado: 28 Dic 2006
Mensajes: 47
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Civil
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Por no deshabilitar HTML, el foro publicó mal el fin de mi mensaje. Debía decir:
(...)
|En+1 / En| = |1 + 2 h Un| < 1
Finalmente, hay que desarrollar la desigualdad y obtener condiciones sobre h, pero en este caso, si Un > 0, la inecuación de arriba nunca puede cumplirse dado que |1 + 2 h Un| nunca puede ser menor a uno. Por ende, el problema es inestable.
Espero haber sido de utilidad. Saludos!
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Tavo
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 05 Mar 2006
Mensajes: 10
Ubicación: Gral.San Martín
Carrera: Informática
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