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Mensaje |
Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
Última edición por Sebastian Santisi el Sab Feb 23, 2008 12:49 am, editado 7 veces
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
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Ahora que ya hemos presentado a la mayor parte de las herramientas que provee el modo matemático de ![[tex] $\LaTeX$ [/tex]](images/latex/c63687fd06b0fa9e0c9cfa7448f22c8d52637481_0.png "[tex] $\LaTeX$ [/tex]") , veremos algunos ejemplos integradores para repasar los conceptos y familiarizarnos con ecuaciones complejas.
Definiciones
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| Código:
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[tex]\[ \{ e^{int} \} \mbox{ es base ortonormal de } L^2 [0,2\pi] \][/tex]
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![[tex]\{ e^{int} \} \mbox{ es base ortonormal de } L^2 [0,2\pi][/tex]](images/latex/ec07c311af309d1eec769d0e533faa7240a9eee8_0.png "[tex]\{ e^{int} \} \mbox{ es base ortonormal de } L^2 [0,2\pi][/tex]")
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| Código:
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[tex]V \mbox{ es acotado} \iff \exists \, m > 0 / \, d(v_1,v_2) \leq m, \, \forall v_1, v_2 \in V[/tex]
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![[tex]V \mbox{ es acotado} \iff \exists \, m > 0 / \, d(v_1,v_2) \leq m, \, \forall v_1, v_2 \in V[/tex]](images/latex/68a9b00f8656241a0383a3891778994c0a7d1864_0.png "[tex]V \mbox{ es acotado} \iff \exists \, m > 0 / \, d(v_1,v_2) \leq m, \, \forall v_1, v_2 \in V[/tex]")
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| Código:
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[tex] \sigma \mbox{-\'algebra} \iff (\emptyset \in \Sigma)
\land (X \in \Sigma)
\land (A \in \Sigma \Longrightarrow X \setminus A \in \Sigma)
\land \ldots[/tex]
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![[tex] \sigma \mbox{-\'algebra} \iff (\emptyset \in \Sigma)\land (X \in \Sigma)\land (A \in \Sigma \Longrightarrow X \setminus A \in \Sigma)\land \ldots[/tex]](images/latex/4ccf316b8c21a68a690265547f38d24c52dc9592_0.png "[tex] \sigma \mbox{-\'algebra} \iff (\emptyset \in \Sigma)\land (X \in \Sigma)\land (A \in \Sigma \Longrightarrow X \setminus A \in \Sigma)\land \ldots[/tex]")
Fracciones, raices y exponentes
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| Código:
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[tex]\frac{df}{dz} = \frac{df}{dZ} \cdot \frac{dZ}{dz} =
\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{\frac{dz}{dZ}} =
\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{G'(Z)}[/tex]
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![[tex]\frac{df}{dz} = \frac{df}{dZ} \cdot \frac{dZ}{dz} =\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{\frac{dz}{dZ}} =\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{G'(Z)}[/tex]](images/latex/40c87b0b090a276e0de4bb4ae627e51ba8e623bc_0.png "[tex]\frac{df}{dz} = \frac{df}{dZ} \cdot \frac{dZ}{dz} =\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{\frac{dz}{dZ}} =\frac{df}{dZ} \cdot \frac1{G'(Z)}[/tex]")
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| Código:
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[tex]x(t) \ast \frac{d\delta_\Delta(t)}{dt} =
\frac{x(t) - x(t - \Delta)}\Delta \cong \frac{dx(t)}{dt}[/tex]
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![[tex]x(t) \ast \frac{d\delta_\Delta(t)}{dt} =\frac{x(t) - x(t - \Delta)}\Delta \cong \frac{dx(t)}{dt}[/tex]](images/latex/90a9aed81b10aac5a27e7d2c9718239d7288a8f5_0.png "[tex]x(t) \ast \frac{d\delta_\Delta(t)}{dt} =\frac{x(t) - x(t - \Delta)}\Delta \cong \frac{dx(t)}{dt}[/tex]")
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| Código:
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[tex]f(z) = C \frac{(z - c_1)^{k_1} (z - c_2)^{k_2} \ldots (z - c_n)^{k_n}}{(z - p_1)^{l_1} (z - p_2)^{l_2} \ldots (z - p_m)^{l_m}}[/tex]
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![[tex]f(z) = C \frac{(z - c_1)^{k_1} (z - c_2)^{k_2} \ldots (z - c_n)^{k_n}}{(z - p_1)^{l_1} (z - p_2)^{l_2} \ldots (z - p_m)^{l_m}}[/tex]](images/latex/caba90a06c654e3f7b427fc94084c37b3e1255e9_0.png "[tex]f(z) = C \frac{(z - c_1)^{k_1} (z - c_2)^{k_2} \ldots (z - c_n)^{k_n}}{(z - p_1)^{l_1} (z - p_2)^{l_2} \ldots (z - p_m)^{l_m}}[/tex]")
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| Código:
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[tex]n! \approx \sqrt{2\pi} \, e^{-n} \, n^{n + \frac12}[/tex]
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![[tex]n! \approx \sqrt{2\pi} \, e^{-n} \, n^{n + \frac12}[/tex]](images/latex/5836d85fc90c090f362da0fe20680f222aa73802_0.png "[tex]n! \approx \sqrt{2\pi} \, e^{-n} \, n^{n + \frac12}[/tex]")
Delimitadores y funciones
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| Código:
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[tex]P(a \leq X \leq b) = \Phi \left( \frac{b - \mu}\sigma \right) - \Phi \left( \frac{a - \mu}\sigma \right)[/tex]
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![[tex]P(a \leq X \leq b) = \Phi \left( \frac{b - \mu}\sigma \right) - \Phi \left( \frac{a - \mu}\sigma \right)[/tex]](images/latex/e93f7f0696abf8d91c525330e53947af63da47f9_0.png "[tex]P(a \leq X \leq b) = \Phi \left( \frac{b - \mu}\sigma \right) - \Phi \left( \frac{a - \mu}\sigma \right)[/tex]")
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| Código:
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[tex]n a^n u[n] \stackrel{\mathcal F}{\longleftrightarrow} j \frac{d}{d\omega} \left( \frac1{1 - a e^{-j\omega}} \right)[/tex]
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![[tex]n a^n u[n] \stackrel{\mathcal F}{\longleftrightarrow} j \frac{d}{d\omega} \left( \frac1{1 - a e^{-j\omega}} \right)[/tex]](images/latex/497a89d4db71625fce3ce7600130cc39f9e4afca_0.png "[tex]n a^n u[n] \stackrel{\mathcal F}{\longleftrightarrow} j \frac{d}{d\omega} \left( \frac1{1 - a e^{-j\omega}} \right)[/tex]")
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| Código:
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[tex]\omega_k = r^{1/n} \left[ \cos \frac{\varphi + 2k\pi}n + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}n \right][/tex]
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![[tex]\omega_k = r^{1/n} \left[ \cos \frac{\varphi + 2k\pi}n + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}n \right][/tex]](images/latex/8ae8c497103e86fd2742ac7be9916a88ee237f01_0.png "[tex]\omega_k = r^{1/n} \left[ \cos \frac{\varphi + 2k\pi}n + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}n \right][/tex]")
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| Código:
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[tex]\mathop{\lim_{x \to -\infty}}_{y \to +\infty}
\frac{\cos x}{\ln y} = 0 [/tex]
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![[tex]\mathop{\lim_{x \to -\infty}}_{y \to +\infty}\frac{\cos x}{\ln y} = 0 [/tex]](images/latex/e6167616e178f84bf2aca6a729c2a775ece50eb8_0.png "[tex]\mathop{\lim_{x \to -\infty}}_{y \to +\infty}\frac{\cos x}{\ln y} = 0 [/tex]")
Sumatorias y productorias
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| Código:
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[tex]2 \sum_{i = 1}^N i = 2 \left( \frac{N + 1}{2} \right)[/tex]
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![[tex]2 \sum_{i = 1}^N i = 2 \left( \frac{N + 1}{2} \right)[/tex]](images/latex/1148d668159220cb51d2383bf66bb1fcff90bf75_0.png "[tex]2 \sum_{i = 1}^N i = 2 \left( \frac{N + 1}{2} \right)[/tex]")
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| Código:
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[tex]\prod_{i = 0}^N x_i = x_0 x_1 \ldots x_N[/tex]
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![[tex]\prod_{i = 0}^N x_i = x_0 x_1 \ldots x_N[/tex]](images/latex/5e5de79fad54004d7176b070464d4a3a8f1f7bf0_0.png "[tex]\prod_{i = 0}^N x_i = x_0 x_1 \ldots x_N[/tex]")
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| Código:
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[tex]\bigcup_{i = 1}^n \overline{P_i} = \overline{ \bigcap_{i = 1}^n P_i}[/tex]
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![[tex]\bigcup_{i = 1}^n \overline{P_i} = \overline{ \bigcap_{i = 1}^n P_i}[/tex]](images/latex/6925b029bb907354ba735367a462b467a5fdac25_0.png "[tex]\bigcup_{i = 1}^n \overline{P_i} = \overline{ \bigcap_{i = 1}^n P_i}[/tex]")
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| Código:
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[tex]f(t) = \sum_{\nu = 0}^{n - m} \xi_\nu \delta^{(\nu)}(t) +
\sum_{\mu = 1}^q \sum_{\nu = 1}^{k_\mu}
\frac{\zeta_{\mu\nu}}{(\nu - 1)!}
t^{\nu - 1}e^\gamma{}_\mu{}^t 1_+(t)[/tex]
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![[tex]f(t) = \sum_{\nu = 0}^{n - m} \xi_\nu \delta^{(\nu)}(t) + \sum_{\mu = 1}^q \sum_{\nu = 1}^{k_\mu} \frac{\zeta_{\mu\nu}}{(\nu - 1)!} t^{\nu - 1}e^\gamma{}_\mu{}^t 1_+(t)[/tex]](images/latex/f844a1d084d3846ba29d9b7894d937c7c46762b2_0.png "[tex]f(t) = \sum_{\nu = 0}^{n - m} \xi_\nu \delta^{(\nu)}(t) + \sum_{\mu = 1}^q \sum_{\nu = 1}^{k_\mu} \frac{\zeta_{\mu\nu}}{(\nu - 1)!} t^{\nu - 1}e^\gamma{}_\mu{}^t 1_+(t)[/tex]")
Integrales
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| Código:
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[tex]\int \frac1x \,dx = \ln x[/tex]
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![[tex]\int \frac1x \,dx = \ln x[/tex]](images/latex/ee12d68a7db2734fd8a575e32816d74cddf4570e_0.png "[tex]\int \frac1x \,dx = \ln x[/tex]")
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| Código:
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[tex]\langle T'_u , \varphi \rangle =
- \langle T_u , \varphi' \rangle =
- \int_0^{+\infty} \varphi'(x) \,dx =
\varphi(0) = \langle \delta , \varphi \rangle[/tex]
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![[tex]\langle T'_u , \varphi \rangle = - \langle T_u , \varphi' \rangle = - \int_0^{+\infty} \varphi'(x) \,dx = \varphi(0) = \langle \delta , \varphi \rangle[/tex]](images/latex/9719f9b0d39b566149fdaab7aa297060aac5d27c_0.png "[tex]\langle T'_u , \varphi \rangle = - \langle T_u , \varphi' \rangle = - \int_0^{+\infty} \varphi'(x) \,dx = \varphi(0) = \langle \delta , \varphi \rangle[/tex]")
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| Código:
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[tex]\oint_{\mathcal C} \frac{f(z)}{z} \,dz = 2\pi i \, f(0)[/tex]
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![[tex]\oint_{\mathcal C} \frac{f(z)}{z} \,dz = 2\pi i \, f(0)[/tex]](images/latex/286ae30db11d948ea208a7907aff42afe8c25067_0.png "[tex]\oint_{\mathcal C} \frac{f(z)}{z} \,dz = 2\pi i \, f(0)[/tex]")
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| Código:
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[tex]g(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat f(\xi)
\bar{\widehat w} (\xi - \lambda) \widehat w (\xi - \lambda)
e^{2i\pi\xi x} \,d\xi[/tex]
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![[tex]g(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat f(\xi) \bar{\widehat w} (\xi - \lambda) \widehat w (\xi - \lambda) e^{2i\pi\xi x} \,d\xi[/tex]](images/latex/b8235d933885d68ed78efc032e46028cda0eb1c5_0.png "[tex]g(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat f(\xi) \bar{\widehat w} (\xi - \lambda) \widehat w (\xi - \lambda) e^{2i\pi\xi x} \,d\xi[/tex]")
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| Código:
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[tex]u_{-k}(t) =
\underbrace{u(t) \ast \cdots \ast u(t)}_{k \mbox{ veces}} =
\int_{-\infty}^t u_{-(k - 1)}(\tau) \,d\tau[/tex]
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![[tex]u_{-k}(t) = \underbrace{u(t) \ast \cdots \ast u(t)}_{k \mbox{ veces}} = \int_{-\infty}^t u_{-(k - 1)}(\tau) \,d\tau[/tex]](images/latex/97402e2cc613eeedc42cac02b5c98c6c4c7db38f_0.png "[tex]u_{-k}(t) = \underbrace{u(t) \ast \cdots \ast u(t)}_{k \mbox{ veces}} = \int_{-\infty}^t u_{-(k - 1)}(\tau) \,d\tau[/tex]")
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| Código:
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[tex]\int_0^1 \!\!\! \int_0^1 x^2 y^2 \,dx\,dy[/tex]
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![[tex]\int_0^1 \!\!\! \int_0^1 x^2 y^2 \,dx\,dy[/tex]](images/latex/823ea8a322bfa3e029d0751eae31b2773ff2e24c_0.png "[tex]\int_0^1 \!\!\! \int_0^1 x^2 y^2 \,dx\,dy[/tex]")
Sobre el uso de los espacios negativos: si rendrerizáramos \int_0^1 \int_0^1 sin el espaciado \! veríamos ![[tex]\int_0^1 \int_0^1[/tex]](images/latex/d9dff3647cfa71267b207cb80c1b20a012652682_0.png "[tex]\int_0^1 \int_0^1[/tex]") , lo cual no es apropiado.
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| Código:
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[tex]\int \!\!\!\! \int_{\mathbf{R^2}} f(x,y) \,dx\,dy[/tex]
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![[tex]\int \!\!\!\! \int_{\mathbf{R^2}} f(x,y) \,dx\,dy[/tex]](images/latex/82e28676b6d173b41ad61016e7122a9d2793907e_0.png "[tex]\int \!\!\!\! \int_{\mathbf{R^2}} f(x,y) \,dx\,dy[/tex]")
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